Образовательный блог – всё для учебы

Пример 3.

Многолинейная система обслуживания с ожиданием. Система обслуживания состоит из N параллельно работающих приборов, на которые в моменты t_n поступают требования ?_n = t_n+1 – t_n. Пусть ?_n — время обслуживания n-го требования. Если все приборы заняты, то требования образуют очередь и в дальнейшем обслуживаются в порядке поступления. Если поступившее требование застало в системе свободным хотя бы один прибор, то оно сразу направляется на обслуживание (безразлично, на какой прибор).

Введем в рассмотрение вектор z_n — (z_n(1), …, z_n(N)), где z_n(k) —длительность интервала времени с момента поступления n-го требования до момента, когда впервые по меньшей мере k приборов станут свободными от требований, поступивших раньше n-го. Очевидно, 0 ? z_n(1) ? … ? z_n(N), a z_n(l) — время ожидания n-м требованием начала обслуживания. Пусть е и 1—векторы размерности N, имеющие вид е= (1, 0, …, 0), 1 = (1,1, . .., 1). Тогда векторы z_n+1 и z_n связаны соотношением

z_n+1 = R(z_n+?_n?e – ?_n?1)⁺, (6)
где запись (?)⁺ для вектора означает взятие неотрицательной части от каждой компоненты этого вектора, a R — оператор, упорядочивающий координаты вектора (к которому он применяется) по возрастанию.

Введем двумерный вектор ?_n = (?_n, ?_n). Предположим, что {?_n} — последовательность независимых одинаково распределенных векторов, Н — первый квадрант плоскости. Тогда z_n — марковский процесс с множеством состояний Z={(z(1), … z(N)): 0 ? z(1) ? z(2) ? … ? z(N)}. Пусть ||z|| = max z(j),
||?||= |?| + |?|. Равенство (6) является частным случаем соотношения (1.5), причем, как следует из (6),
||R(? + ??e – ??1)⁺ ? ||?|| + |?|. (7)
и поэтому, если М(?)^? < ?, ? > 0, то М_?|?_n||^? < ? при любых n
и ? ? 0.

Производящий оператор А определяется равенством
AV(?) = М V[R(? + ??e - ??1)⁺] — V(?).

Если М|?| < ?, то, как следует из неравенства (7), область D_А содержит все функции V, растущие не быстрее линейной: |V(z)| ? L||z|| при некотором L > 0 (в частности, удовлетворяющие условию Липшица).

Пример 4.

Многофазная система обслуживания. Рассмотрим N последовательно расположенных однолинейных систем (фаз) типа, описанного в примере 2. При этом поток требований.
обслуженных на первом приборе, является входящим для второй фазы, выходящий поток второй фазы — входящим для третьей и т. д.

Пусть, как и выше, t_n — момент поступления в систему n-го требования, ?_n = t_n+1 – t_n. Обозначим через ?_n(k) время обслуживания (n+1)-ro требования на приборе k-й фазы, 1 ? k ? N. Пусть z_n(k)—длительность пребывания n-го требования на первых k фазах, 1 ? k ? N. Тогда

z_n+1(1) = 0 ? (z_n(1)-?_n) + ?_n(1),

z_n+1(k) =z_n+1(k-1)?(z_n(k) – ?_n) + ?_n(1),1 < k < N, (8)

z_n+1(N) =z_n+1(N-1)?(z_n(N) – ?_n) + ?_n(N)

Очевидно, 0 ? z_n(1) ? z_n(2) ? … ? z_n(N). Введем в рассмотрение (N +1)-мерный вектор ?_n = (?_n(1), …, ?_n(N), ?_n), H — пространство (N+ 1)-мерных неотрицательных векторов. Предположим, что {?_n} — последовательность независимых одинаково распределенных векторов. Тогда, как следует из соотношений (8), процесс z_n = (z_n(1), …, z_n(N))—однородный марковский вида (1.5) с множеством состояний Z = ((z(1), …, z(N): 0 ? z(1) ? … ? z(N)}. Пусть
||z|| = max|z(j)| =z(N), ||?|| = ? + ??_n(j). Поскольку имеет место неравенство

|z_n+1(j)| ? z_n(j)|+ ??_n(j), (9)

то при max M( ?(j))^? < ?, ? > 0,имеет место M_zz_n(j) < ? при
всех n ? 0, 1 ? j ? N, z ? Z. Очевидно, равенство (8) можно записать в эквивалентной форме
z_n+1 = F (z_n, ?_n), где вид вектор-функции F = (F₁ …, F_N) определяется из (8): F₁(z_n, ?_n) = max(0, z_n(1) – ?_n) +?_n(1),
F₂(z_n, ?_n) = max [max (0, z_n(1) - ?_n) +?_n(1)],
и т. д.

Тогда вид производящего оператора А определяется равенством
AV(w) = М V[F(?, ?)] — V(?), где функция F задана соотношениями (19). Если mах М ?(j) < ?, то, как следует из неравенств (9), область D_A содержит все функции, растущие не быстрее линейной: |V(z)| ? L|z| при некотором L > 0 (в частности, удовлетворяющие условию Липшица)

1. Примеры 1 и 2 моделей с дискретным временем
2. Леммы – модели систем с дискретным временем
3. Марковские процессы с дискретным временем
4. Пример 1 – модели сложных систем, описываемые как КЛП
5. Ограниченность для процессов с дискретным временем
6. Пример многолинейной системы массового обслуживания с относительным приоритетом
7. Достижимость для процессов с дискретным временем
8. Пример многолинейной системы обслуживания с ожиданием
9. Пример – ненагруженное дублирование с восстановлением
10. Система обслуживания с относительным приоритетом
11. Пример процесс рождения и гибели. Многолинейная система массового обслуживания с относительным приоритетом
12. Кусочно-линейные марковские процессы с непрерывным временем
13. Схема резервирования с конечным временем переключения элементов
14. Условия оптимальности для некоторых классов моделей принятия решений
15. Качественные свойства, представляющие интерес при разработке сложных систем
16. Особенности построения моделей дискретных процессов на языке GPSS
17. Стандартизованные формы представления моделей