Поскольку при проведении натурных и машинных экспериментов широкое распространение получила теория и методы планирования эксперимента (как ветвь математической статистики), в данной главе приведены краткие сведения по основам планирования эксперимента и регрессионному анализу на основе аппарата факторного планирования эксперимента.

Более полное и обстоятельное изложение теории планирования эксперимента читатель может найти в соответствующей литературе. Здесь же рассмотрим использование этого аппарата для получения и анализа статических моделей, моделей в установившихся режимах.

Математическая теория планирования эксперимента позволяет повысить эффективность экспериментальных исследований. Основы этой теории заложил английский статистик Р. Фишер. Он впервые показал целесообразность одновременного варьирования многими переменными в противовес широко распространённому однофакторному эксперименту.

Планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи.

При этом существенно следующее:
1) одновременное варьирование всеми переменными, определяющими изучаемый процесс, по специальным правилам, алгоритмам;
2) стремление к минимизации общего числа опытов.

В данном случае используется кибернетическое представление о модели объекта в виде «черного ящика». Пусть в процессе исследования какого-либо объекта («черного ящика») некоторое качество его или целевая функция Y зависит от нескольких величин
x₁, x₂, …, x_n
т.е.
Y = F{x₁, x₂, …, x_n} (1)

Переменные х_i представляющие варьируемые переменные, называют факторами, а Y — выход, функция отклика, целевая функция. Выходов Y может быть несколько.

В планировании могут участвовать только независимые факторы, которые можно устанавливать и поддерживать на фиксированных уровнях в течение опыта.

При этом каждый фактор x_i может принимать в опыте одно из нескольких допустимых значений. Эти значения называют уровнями, фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний объекта и один опыт в эксперименте. Все возможные наборы уровней факторов определяет общее число возможных различных опытов.

В качестве модели рассматривается представление (1) в виде степенного ряда

(2)

На практике ограничиваются конечным числом членов разложения, т.е. неизвестная функция аппроксимируется усеченным полиномом некоторой степени.

Каждый фактор имеет свой допустимый диапазон изменения, т.е. известны граничные значения X_imin , X_imax .

Каждому фактору соответствует своя координатная ось, а образованное таким образом пространство называют факторным пространством.

Назначая граничные значения, задаем область определения функции Y в факторном пространстве. На рисунке представлена область экспериментирования функции двух переменных.

Поскольку факторы в общем случае размерные величины, их кодируют, чтобы иметь дело с безразмерными факторами. Операция кодирования представляет собой линейное преобразование факторного пространства, что ведет к переносу начала координат факторного пространства в точку с координатами

Рис. Область экспериментирования функции двух переменных

Тогда для каждого фактора X_imin будет соответствовать -1, а Х_imax +1. Кодированные значения факторов хi определяются следующим соотношением:

(2)

Теперь уравнение (2) можно переписать через кодированные факторы в виде

(3)

(4)

Уравнение (4) можно переписать в еще более компактной форме, если ввести фиктивный фактор х₀, тождественно равный единице, и обозначить все двойные, тройные взаимодействия, а также квадраты факторов символом X_i, а соответствующие коэффициенты символом b_i

(5)

Пример. Пусть имеем два фактора Х₁ и Х₂. Тогда в соответствии с уравнением (4)

Рис. 2. Поверхность отклика в двухфакторном пространстве

В соответствии с (5) задача нахождения Y заключается в том, чтобы на основе эксперимента при вариации x_i определить неизвестные коэффициенты b_i.

Выражения (1) и (5) называют функцией отклика, представляющую в факторном пространстве в общем случае поверхность отклика. На рис. 2 показана поверхность отклика в двухфакторном пространстве.

Близость аппроксимирующей поверхности к истинной можно оценить тем или иным критерием. В качестве такой меры близости удобно выбрать квадратичную форму вида

(6)

где N — число экспериментальных значений функции отклика, число опытов в эксперименте; и — номер опыта; Y — значения функций отклика, предсказанная аппроксимирующим выражением; Y_u — значения истинной поверхности отклика.

Рассмотрим пример для случая одного фактора:

(7)

Подставив уравнение (5.7) в (5.6), получим:

Решая эту систему, получаем искомые значения b₀ и b₁

Комментарии запрещены.