Среди числовых характеристик случайных величин нужно прежде всего отметить те, которые характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины.

Из характеристик положения важнейшую роль играет математическое ожидание величины, которое иногда называют просто средним значением случайной величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, имеющую возможные значения х₁, х₂, …, х_n с вероятностями p₁, p₂, …, p_n. Требуется охарактеризовать каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели естественно воспользоваться так называемым «средним взвешенным» из значений х_i, причем каждое значение х_i при осреднении должно учитываться с «весом», пропорциональным вероятности этого значения.

Таким образом, вычисляется среднее значение случайной величины Х, которое обозначается M[X]:

M[X] = [x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n] / [p₁ + p₂ + … + p_n] = ∑x_ip_i/∑p_i

учитывая, что ∑p_i = 1 то

M[X] = ∑x_ip_i

Это средневзвешенное значение и называется математическим ожиданием случайной величины.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений (формулировка справедлива для дискретных случайных величин).

Математическое ожидание случайной величины Х связано своеобразной зависимостью со средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

При большом числе опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины приближается к ее математическому ожиданию.

Для непрерывной величины Х математическое ожидание, естественно, выражается не суммой, а интегралом:

M[X] = ∫x⋅f(x)dx

где f(x)-плотность распределения величины Х.

Комментарии запрещены.