В задачах имитационного моделирования систем, подверженных действию случайных сигналов, важное место принадлежит воспроизведению реально действующих сигналов. Задача заключается в еле дующем: располагая видом и параметрами корреляционной функции и закона распределения математически заданного или реально действующего сигнала (полученного на основе обработки реализаций по экспертным данным) разработать алгоритмы, позволяющие создавать модели случайных сигналов, имеющих близкие к ним соответствующие статические характеристики.

Псевдослучайный сигнал, полученный выше, может быть использован при имитационном моделировании как вид статистической помехи, шума. Но генератор псевдослучайных сигналов может быть использован и для получения на ее основе сигналов с заданными статистическими свойствами.

Схема получения сигналов с заданными статистическими свойствами

Общая схема получения таких сигналов дана на рисунке ниже:

Рис. Схема получения сигналов с заданными статистическими свойствами

В качестве первичного источника шума x(t) используем генератор ПСДП, а формирующий фильтр-синтезатор можно представить в виде некоторого дискретного фильтра (рисунок ниже).

Рис. Генератор ПСДП

В основе реализации схемы лежит представление произвольного сигнала в виде

т.е. через соответствующие суммы с весами при выбранной базовой функции. В качестве базовой функции здесь используется х_i [nΔ] — псевдослучайная последовательность, снимаемая с i-й ячейки регистра сдвига, с весовыми коэффициентами h_i, h_ij при соответствующих членах разложения а m < M <2^m -1 = N.

Формула по существу представляет собой некоторое отображение, которое реализуется схемой.

Цифровой фильтр осуществляет суммирование взвешенных сигналов, снимаемых с первичного генератора шума. Задача синтеза фильтра заключается в подборе необходимых значений весовых коэффициентов.

Рассмотрим конкретные алгоритмы выбора весовых коэффициентов для требуемых видов законов распределения и корреляционных функций.

Алгоритм получения сигнала с заданным законом распределения

Рассмотрим алгоритм при аппроксимации искомого сигнала первой суммой в разложении, а именно

где i — номер такта; x_k(i) — псевдослучайная двоичная последовательность, снимаемая с k-й ячейки генератора; h_k — весовые коэффициенты.

Введем в рассмотрение характеристическую функцию ξ(v), однозначно связанную с законом распределения W(x):

Тогда

Из свойств псевдослучайной двоичной последовательности следует, что плотность распределения вероятностей (закон распределения) W_k (х) сигнала, снимаемого с к-й ячейки генератора и взвешенного с весом h_k , имеет вид:

Тогда выражение для соответствующей характеристической функции примет вид (после соответствующих подстановок):

Так как сигналы, снимаемые с каждой из m ячеек практически статистически независимы, то сумме m независимых сигналов будет соответствовать характеристическая функция

т.е. в области изображений сумма переходит в произведение.
Итак, задача получения сигнала с заданной плотностью распределения W_зад сводится к задаче нахождения весовых коэффициентов, обеспечивающих наилучшую аппроксимацию соответствующей характеристической функции выражением.

Другими словами, необходимо, чтобы площади под соответствующими характеристическими функциями были близки:

Можно сказать и так — вид характеристической функции конкретного сигнала определяет способ выбора коэффициентов h_k.

Рассмотрим равномерный и треугольный законы распределения и соответствующие им характеристические функции.

Здесь имеют место периодически повторяющиеся нули. Значение нулей определяют поведение ξ(v) во всей области изменения v.

Следовательно, надо так подбирать h_k, чтобы нули у, определяемы формулой, совпадали с нулями требуемой характеристической функции.

Если характеристическая функция монотонная и не имеет нулей (нормальное распределение, распределение Лапласа, Коши), то хорошая аппроксимация получается, если положить

h₁ = h₂ = … = h_k = h, т.е. все веса одинаковы.

В этом случае ξ(v) = cos^m (hv) и задача выбора значения h решается посредством приближения площадей под кривыми

Алгоритм получения сигнала с заданной корреляционной функцией

Перепишем уравнение в эквивалентной форме

где х₀ — последовательность на входе первой ячейки регистра; i-k — сдвиг на к тактов. Для стационарных случайных процессов справедливо эргодическое свойство (среднее по множеству равно среднему по времени).

Поэтому

Сдвиг во второй сумме составит (i — l + τ) — (i — k) = k — l + τ. Эта сумма представляет собой корреляционную функцию R_х0 =(k- l +x) сигнала X₀.

Поскольку х₀ — это М-последовательность, то при k — l + τ=0
R_X0 (0) = 1, а для остальных значений R_X0 = 0, то перепишем в виде

Окончательно имеем

Таким образом, значения корреляционной функции искомого сигнала определяются численными значениями весовых коэффициентов, распределённых вдоль регистра сдвига. Как найти требуемые значения этих коэффициентов?

Для этого обратимся к Z-преобразованию корреляционной функции

Подставив уравнение:

Можно представить R_y(z) как произведение полиномов от z.

Обозначим эти полиномы соответственно h(1/z) – первая сумма в формуле и h(z)— вторая сумма.

Для определения требуемых значений весовых коэффициентов используется специфическая многошаговая процедура деления

Это деление осуществляется до тех пор, пока соответствующие коэффициенты при h(1/z) и h(z) не будут близки с точностью до заданной погрешности (например, 0.05).

Полученные значения h_k устанавливаются в схеме генерации. Тогда генератор выдает требуемый сигнал y[n].

Таким образом, для получения сигнала с заданной корреляционной функцией необходимо:
1) задать автокорреляционную функцию в виде совокупности ординат;
2) определить делением полиномов значение весовых коэффициентов и установить их в генераторе;
3) получить сигнал y[n];
4) определить погрешность результата.

Комментарии запрещены.