Кроме характеристик положения употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты.

Чаще всего на практике применяют моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом s–го порядка прерывной случайной величины X называется сумма вида:

α_s[X] = ∑x_i^sp_i

Для непрерывной случайной величины X начальным моментом s-го порядка называется интеграл

α_s[X] = ∫x^sf(x)dx

Очевидно, что математическое ожидание представляет собой не что иное, как первый начальный момент случайной величины X.

Общее определение начального момента s–го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин:

α_s[X] = M[X^s]

т.е. начальным моментом s–го порядка случайной величины X называется математическое ожидание s–й степени этой случайной величины.
Введем понятие центрированной случайной величины.

Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием m_x.

Центрированной случайной величиной X*, соответствующей величине X, называется отклонение случайной величины X от ее математического ожидания: X* = X — m_x.

Центрирование случайной величины равносильно переносу начала координат в среднюю центральную точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.

Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов (аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике).

Таким образом, центральным моментом порядка s случайной величины X называется математическое ожидание s-ой степени соответствующей центрированной случайной величины:

μ_s[X] = M[X*^s] = M [(X — m_x)^s]

Для прерывной случайной величины s-й центральный момент выражается суммой μ_s = ξ(x_i — m_x)^sp_i,
а для непрерывной случайной величины интегралом μ_s = ∫(x — m_x)^sf(x)dx.

Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю:
μ₁ = M[X*] = M[x-m_x] = 0
Второй центральный момент:
μ₂ = μ₂ — m_x²

Аналогично для μ₃ и т.д.

Для центральных моментов любой случайной величины X справедливы формулы:
μ₁ = 0,
μ₂ = α₂ — m_x²
μ₃ = α₃ — m_x²α₂ + 2m_x³
Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяется первый начальный момент (математическое ожидание) m_x = α₁ и второй центральный момент μ₂.

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины и обозначается D[X].

Согласно определению центрального момента D[X] = M[X*²], т.е. дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины. Заменяя в выражении величину X* ее выражением, имеем D[X] = M[(x-m_x)²]

Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:
для прерывных случайных величин D[X] = ∑(x_i — m_x)²p_i
для непрерывных случайных величин D[X] = ∫(x — m_x)²f(x)dx.

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания.

Механическая интерпретация: дисперсия представляет собой не что иное, как момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания).

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины.

Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень, полученная величина называется средним квадратичным отклонением случайной величины X.

Среднее квадратичное отклонение будем обозначать σ[X]:

σ[X] = √D[X]

Комментарии запрещены.