Математическая модель проектируемого устройства

Несмотря на всю сложность и разнообразие электронных схем (пассивные и активные фильтры, линейные транзисторные каскады, импульсные схемы, логические элементы ЭВМ и т. д.) в общем случае их можно рассматривать как электрические цепи с сосредоточенными параметрами, состояние которых полностью описывается векторами токов I и напряжений U. Такое представление позволяет интерпретировать конкретную электронную схему как физическую систему, состоящую из совокупности связанных между собой физических компонент (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности, транзисторов, диодов и т.д.). В свою очередь, каждая k-я компонента может быть также представлена в виде физической системы, образованной более простыми элементами, каждый из которых характеризуется совокупностью конструктивно-технологических и электрофизических параметров ak, k = 1, 2,…, n.

Обозначим через z (t) = (z1(t), z2 (t), zr(t)) воздействия на r входах физической системы, а через у (t) = (у1(t), у2(t),…, уm (t)) — реакции на ее m выходах. Тогда значения переменных состояния s (t) = (s1(t), s2 (t),…, Sl (t)), однозначно описывающие поведение системы в любой момент времени t ≥ t0 (если начальное состояние системы s (t0) в момент времени t0 известно), будет определяться системой дифференциальных уравнений состояния:

si(t) = fi (s (t), z (t), a(t), t) i = 1, 2, …, l, (1.1)

и совокупностью алгебраических уравнений типа «вход—состояние— выход»:

yi(t) = gj (s (t), z (t), a (t), t), j=1, 2, …, m. (1.2)

Здесь si (t) = dsi(t)/dt — производная функции si (t); а = (а1, а2, …, аn) — совокупность параметров, характеризующих физическую систему; t — время.

Для электронных схем система уравнений (1.1)—(1.2), называемая стандартной формой уравнений состояния, может быть построена с помощью законов Кирхгофа, если в качестве переменных состояния s (t) выбирать токи в катушках индуктивности lL и напряжения на конденсаторах Uc. Это связано с тем, что через эти величины, характеризующие запасы энергии в реактивных компонентах, можно определить токи 1 и напряжения U всех остальных компонент схемы.

При заданных воздействиях z(t) на входах и известных значениях параметров а система уравнения (1.1)—(1.2) позволяет проводить анализ переходных процессов в электронной схеме.

При отсутствии изменений в состоянии физической системы (si(t) = 0, i = 1, 2,…, l) уравнения (1.1)—(1.2) сводятся к совокупности алгебраических и трансцендентных уравнений, которые являются основой для анализа статического режима (анализа статики) электронной схемы.

Для линейных стационарных цепей (например, малосигнальных электронных схем) уравнения состояния (1.1)—(1.2) представляют собой систему линейных уравнений:

s (t) = A (a) s (t) + В (а) z (t); (1.3)
у (t) = С (a) s (t) + D (a) z(t). (1.4)

Применение к системе уравнений (1.3) преобразования Лапласа позволяет проводить анализ частотных характеристик электронной схемы путем решения для каждого фиксированного значения комплексной переменной р = b + jω системы линейных алгебраических уравнений:

(pI — A) S (р) = BZ (р) + S0(р).

где I— единичная матрица.

В дальнейшем под проектируемым устройством будем понимать электронную схему, представленную в виде физической системы, поведение которой описывается стандартной формой уравнений состояния (1.1)—(1.2).


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru