1. Причиной многокритериальности является необходимость обеспечения оптимальности проектируемого устройства при различных условиях его функционирования, т. е. обеспечение экстремальных значений критерия оптимальности при неопределенности условий, в которых приходится работать устройству. При этом неопределенность может иметь либо количественный характер, выраженный с помощью параметра v, что приводит к задаче оптимизации вида

min Q (x, v) для всех v∈[v^—, v⁺], (2.6)

либо качественный характер, связанный с указанием конкретных условий функционирования. В последнем случае эффективность и качество работы устройства для каждого режима могут быть охарактеризованы различными критериями оптимальности. Например, в зависимости от исходного состояния для логического элемента представляет опасность либо помеха Q₁ (х), вызывающая запирание схемы, либо помеха Q₂ (х), приводящая к отпиранию схемы. Тогда, если под помехоустойчивостью логической схемы понимать минимальный порог срабатывания максимально чувствительной схемы, задача оптимального проектирования логического элемента может быть сформулирована как задача векторной оптимизации следующего вида:
max Q₁ (х); max Q₂ (х),

где D — допустимая область работоспособности логического элемента.

Если неопределенность функционирования имеет количественный характер, то задача оптимизации (2.6) сводится к задаче векторной оптимизации (2.3) путем дискретизации критерия оптимальности Q (x, v) по параметру v и рассмотрению в качестве частных критериев оптимальности функций:

Q_i (х) = Q (х, v₁), где v_i∈[v^—, v⁺],

Такой подход к задаче оптимального проектирования позволяет учитывать влияние внешних факторов (температуры, ускорения, радиации и т. д.) на критерий оптимальности и ограничения проектируемого устройства.

В частном случае параметром v может быть время. Тогда, если эффективность функционирования проектируемого устройства зависит от его входных воздействий z(t), то, дискретизуя временной интервал [t^—, t⁺], приходим к задаче векторной оптимизации вида:

min Q₁(x); … min Q_s(x), (2.7)

где

Q_i (x) = Q (х, z (t_i), t_i), i = 1, 2, … s.

Решение задачи (2.7) позволяет обеспечить оптимальность характеристик динамической системы в пределах некоторого интервала времени [t^—, t⁺]

2. При постановке задачи оптимального проектирования одним из основных вопросов является выбор критерия оптимальности Q(х). С одной стороны, критерий должен иметь конкретный физический смысл, а с другой — от него требуется, чтобы он как можно полнее характеризовал проектируемое устройство: Однако требованиям функциональной полноты трудно удовлетворить с помощью только одного скалярного показателя, так как он обычно описывает конкретное свойство устройства. В связи с этим приходится рассматривать совокупность показателей (Q₁, …, Q_s), каждый из которых имеет наглядную физическую интерпретацию и позволяет оценить качество оптимального решения х* с различных точек зрения.

Таким образом, необходимость обеспечения функциональной полноты показателей, конкретизирующих оптимальные свойства проектируемого устройства, при одновременной их физической наглядности приводит к многокритериальности, которая вытекает прямо из постановки задачи оптимального проектирования. Например, при проектировании транзисторного логического элемента ЭВМ необходимо рассматривать одновременно несколько частных критериев оптимальности Q_i (х), отражающих различные свойства схемы, что приводит к следующей задаче векторной оптимизации:

max Q₁(x); max Q₂(x); max Q₃(x); min Q₄(x); min Q₅(x).

Здесь D — допустимая область работоспособности схемы; Qj (х) — нагрузочная способность; Q₂ (х), Q₃(x) — статическая помехоустойчивость в закрытом состоянии к отпирающей по напряжению помехе и к запирающей — по току, действующей в открытой схеме, соответственно; Q₄ (х) — рассеиваемая мощность; Q₅ (х) — среднее время задержки сигнала. Оптимальный вариант логической схемы должен иметь экстремальные значения по каждому из частных критериев (Q₁, …, Q₅). Однако оптимизация по каждому из них в отдельности приводит к оптимальным решениям, которые отличаются друг от друга. Это связано с тем, что рассматриваемые критерии является противоречивыми. Так, увеличение нагрузочной способности приводит к увеличению среднего времени задержки сигнала, уменьшение рассеиваемой мощности — к снижению быстродействия схемы, а увеличение статической помехоустойчивости — к уменьшению нагрузочной способности.

IV. В тех случаях, когда проектируемое устройство состоит из нескольких взаимосвязанных узлов и блоков, оптимальность всего устройства определяется эффективностью и качеством его отдельных частей, каждая из которых может быть охарактеризована, по крайней мере, хотя бы одним частным критерием оптимальности Q_i(х). В этом случае функционирование всего устройства можно считать наилучшим, если за счет выбора управляемых параметров х обеспечиваются экстремальные значения всех частных критериев оптимальности как основных подцелей одной общей цели проектирования. В принципе здесь тоже можно говорить о множественности, но только уже не характеристик, а подсистем, из которых состоит проектируемое устройство.

Пусть проектируемое устройство состоит из М компонент, каждая из которых может быть охарактеризована своим вектором управляемых параметров хⁱ∈D_i, i = 1, 2, …, М. Требуется выбрать параметры устройства х = (х¹, х², …, х^M) таким образом, чтобы площадь подложки S (х), занимаемая проектируемым устройством, была минимальной при условии, что его рассеиваемая мощность Р (х) не больше предельно допустимого значения Р⁺. Очевидно, что в качестве частных критериев оптимальности можно выбрать площадь подложки S_i (х), занимаемую каждой компонентой. Хотя управляемые параметры хⁱ для каждого частного критерия оптимальности S_i (хⁱ) определены в разных допустимых областях D_i их нельзя выбрать независимо, так как они связаны между собой ограничивающим условием, что суммарная рассеиваемая мощность ∑P_i (xⁱ) не Должна быть больше предельного допустимого значения Р⁺ для всего устройства:

min S₁(x¹);… min S_M (х^M) (2.8)

при условии, что

∑P_i (xⁱ) ≤ Р⁺

Для того чтобы освободиться от связей между управляемыми параметрами х, произведем декомпозицию задачи векторной оптимизации (2.8) путем разделения ее на (М + 1)-у задачу параметрической оптимизации разных уровней. Первый уровень включает раздельное решение М задач параметрической оптимизации для фиксированных значений параметра β = (β₁, …, β_M):

min S_i (хⁱ) (2.9)

при условии, что

P_i (xⁱ) ≤ β⁺

Обозначим решение каждой из задач (2.9) через S_i* (β_i), i = 1.2, …, М. На втором уровне определяются значения параметров β_i, i = 1, 2, …, М, из решения задачи параметрической оптимизации:

min ∑ S_i* (βⁱ) (2.10)

при условии, что

∑ β_i ≤ P⁺

Таким образом, решение задачи векторной оптимизации (2.8) сводится к решению задачи параметрической оптимизации (2.10), на каждом шаге которой, в свою очередь, решаются М задач параметрической оптимизации (2.9).

4. Другой ситуацией, приводящей к многокритериальности, является случай, когда функционально-логическая модель проектируемого устройства отсутствует и требуется ее построить таким образом, чтобы внешние параметры устройства наилучшим образом соответствовали экспериментальным данным. В связи с этим параметры модели х, построенной с помощью эквивалентных схем замещения компонент, могут не иметь непосредственного отношения к внутренним процессам в устройстве, а должны подбираться так, чтобы наилучшим образом (в некотором смысле) аппроксимировать экспериментально полученные внешние параметры проектируемого устройства. Например, рассмотрим четырехполюсник (высокочастотный транзистор, элемент неоднородности и т. д.), внешние параметры которого можно описать при помощи S-матрицы с элементами:

S_ik (х, ω) = Re S_ik (х, ω) + j Im S_ik (х, ω), i, k = 1, 2, ω∈[ω^—, ω⁺]

Здесь х — параметры функционально-логической модели проектируемого устройства (например, для высокочастотного транзистора это могут быть параметры гибридной П-образной эквивалентной схемы с паразитными элементами). Тогда задача выбора управляемых параметров х, обеспечивающих наилучшую аппроксимацию в заданном частотном диапазоне [ω^—, ω⁺] экспериментально полученных зависимостей Re S_ik^э(ω_l) и Im _ik^э(ω_l), где ω_l∈[ω^—, ω⁺], может быть сформулирована как задача векторной оптимизации с восемью частными критериями оптимальности:

min max [(Re S_ik(x, ω) — Re S_ik^э(ω))²],

min max [(Im S_ik(x, ω) — Im S_ik^э(ω))²], i, k = 1, 2.

К задачам векторной оптимизации также могут быть сведены задача синтеза линейных электронных схем по заданному дробно-рациональному выражению, задачи непрерывных или дискретных эквивалентных преобразований электронной схемы и задачи многоуровневой унификации и типизации, связанные с построением оптимальных параметрических рядов.

Комментарии запрещены.