Предположим, что информация о важности частных критериев оптимальности Q_i (х), i = 1, 2, …, s задана в виде ряда приоритетов — множества индексов J = (1, 2, …, s), упорядочивающих частные критерии в порядке убывания их важности:

Q₁ > Q₂ > … > Q_s (2.39)

Отношение (2.39) указывает только качественное предпочтение между частными критериями: критерий Q₁(х) более важен, чем критерий Q₂(х); критерий Q₂(х) более важен, чем критерий Q₃(х) и т. д. Одним из способов свертывания частных критериев, упорядоченных по важности соотношение (2.39), является метод выделения главного критерия. Основная идея этого метода заключается в минимизации наиболее важного («главного») критерия Q₁(х) при условии, что значения других критериев Q_i(х), i = 2, 3, …, s, не превышают некоторых «пороговых» значений Q_i⁰:

min Q₁(x), (2.40)

где

D* = D ∩ D₀; D₀ = {x|Q₀ (x) ≤ Q_i⁰, i = 2, 3, …, s).

Нетрудно показать, что задача (2.40) эквивалентна задаче параметрической оптимизации:

min Ф(Q₁(х), Q₂(x), …, Q_s(x)),

где обобщенный критерий оптимальности:

Ф(Q) = Q₁(x), если max (Q_i(x)/Q_i⁰) ≤ 1,
A_∞— в противном случае.

получается из обобщенной функции цели (2.23), если принять, что вектор весовых коэффициентов λ принадлежит области допустимых значений

D_λ = {λ|λ₁ = 1; λ₀ = — ∑λ_iQ_i⁰; λ_i ≥ 0, i = 2, 3, …, s.}

Основная трудность при применении метода выделения главного критерия (2.40) состоит в назначении пороговых значений Q_i⁰.

Если после выделения главного критерия, предпочтение между частными критериями оптимальности Q_i(х), i = 2, 3, …, s можно задать с помощью весовых коэффициентов

ρ_i > 0, i = 2, 3, …, s; ∑ρ_i = 1.

то пороговые значения Q_i⁰ должны выбираться из условий:

ρ_i((Q_i⁰ — Q_i^*)/(Q_i⁺ — Q_i^*)) для всех i = 2, 3, …, s, (2.41)

где

0 < K₀ ≤ 1; Q_i⁺ = max Q_i(x); Q_i⁺ = min Q_i(x).

При наличии информации о том, что после выделения главного критерия частные критерии Q_i(х), i = 2, 3, …, s, становятся равноценными по важности, из соотношений (2.41) получаем, что пороговые значения Q_i⁰ должны выбираться из условия:

(Q_i⁰ — Q_i^*)/(Q_i⁺ — Q_i^*) = K₀, (2.42)

где

0 < K₀ ≤ 1.

Таким образом, решение задачи векторной оптимизации (1.47)— (1.49) с помощью метода выделения главного критерия может быть сведено к следующей последовательности действий. Задается некоторое значение коэффициента K₀¹, для которого из (2.41) определяются пороговые значения

O_i⁰ = K₀¹ (Q_i⁺ — Q_i^*)/ρ_i + Q_i^*, i = 2, 3, …, s. (2.43)

Для полученных пороговых значений Q_i⁰ решается задача параметрической оптимизации (2.40). Если в процессе ее решения окажется, что область D* пуста, то выбирается новое значение коэффициента К₀² > К₀¹ и вся процедура поиска оптимального решения повторяется снова и т. д.

В общем случае процедура выбора наилучшего значения коэффициента К₀ с одновременным решением задачи параметрической оптимизации (2.40) должна рассматриваться как двухкритериальная задача оптимизации следующего вида:

min К₀; min Q₁(x),

где

D* (К₀) = D ∩ D₀(K₀); D₀ (К₀) = {x|Q_i(х) ≤ K₀ (Q_i⁺ — Q_i^*)/ρ_i + Q_i^*, i = 2, …, s}.

Другой способ учета информации о важности частных критериев оптимальности, заданной отношением предпочтения (2.39), заключается в поэтапном решении задачи параметрической оптимизации относительно каждого частного критерия.

Q₁(x₁^*) = min Q₁(x); Q_k(x_k^*) =min Q_k(x), k = 2, …, s, (2.44)

где

D_k = D∩D_k-1; D_k-1 = {x|Q_j(x) = Q_j (x_k^*), j = 1, 2, …, k — 1}.

Последовательностью задач параметрической оптимизации (2.44) реализует метод последовательной оптимизации частных критериев оптимальности с учетом жесткого приоритета. Это название связано с тем, что минимизация k-то частного критерия начинается только тогда, когда получены минимальные значения всех предыдущих (k — 1)-го частных критериев. Недостатком рассмотренного метода является то, что области удовлетворительных решений D_k, образующиеся сужающиеся подмножества:

D ⊃ D₁ ⊃ D₂ ⊃ … ⊃ D_s,

f
на r-м шаге могут выродиться в точку. Например, если r = 2, то задача минимизации будет решена только по наиболее важному критерию Q₁ (х), а все остальные частные критерии Q_i(х), i = 2, 3, в, не будут учтены. Поэтому этот метод не позволяет справедливо учитывать интересы менее важных критериев, так как не допускает их уменьшения, если это вызывает хотя бы незначительное увеличение более важных критериев.

Комментарии запрещены.