Определение минимального критического объема
16.07.2010 |Определив геометрический параметр kг2 сможем найти критический объем при заданных параметрах среды.
Параллелепипед:
1. ΔФ = kг2 Ф = 0, ∂2Ф/∂x2 + ∂2Ф/∂y2 + ∂2Ф/∂z2 + kг2 Ф = 0 (10)
2. Граничные условия (без отражателя)
Ф(±a/2, y, z) = 0, a = a0 + 2⋅0.71⋅ltr
Ф(x, ±b/2, z) = 0, b = b0 + 2⋅0.71⋅ltr
Ф(x, y, ±c/2) = 0, c = c0 + 2⋅0.71⋅ltr
3. Предположим, что функция Ф — произведение трех функций, зависящих от одного аргумента: Ф = X(x)⋅Y(y)⋅Z(z) (11). Такое допущение можно сделать, если есть геометрическая симметрия. Предполагается, что изменение искомой функции в одном направлении не зависит от ее изменения в другом направлении.
4. Воспользуемся методом разделения переменных: (11) в (10).
1/X ∂2X/∂x2 + 1/Y ∂2Y/∂y2 + 1/Z ∂2Z/∂z2 + kг2 = 0. (12)
где α2 = — 1/X∂2X/∂x2,
β2 = — 1/Y ∂2Y/∂y2,
γ2 = — 1/Z ∂2Z/∂z2.
5. Это равенство будет справедливо, если каждый член (12) равен постоянной. Исходя из равноправности всех направлений знак этой постоянной должен быть одинаков.
6. Получим:
— α2 — β2 — γ2 + kг2 = 0.
∂2X/∂x2 + α2X = 0;
∂2Y/∂y2 + β2Y = 0;
∂2Z/∂z2 + γ2Z = 0;
Из этих равенств следует следующее:
X = B1×sin (αx) + C1×sin (α×x);
Y = B2×sin (β×x) + C2×sin (β×x);
Z = B3×sin (γ×x) + C3×sin (γ×x);
α2, β2, γ2 — геометрические параметры по направлению
7. Т.к. B1×sin (α×x) нечетная, то она не обеспечивает симметричность граничных условий, поэтому B1=B2=B3=0. Получим:
X = C1sin (αx);
Y = C2sin (βx);
Z = C3sin (γx);
8. Найдем геометрические параметры по направлению:
x = a/2 → X(a/2) = C1cos(αa/2) = 0 → αa/2 = π/2 → α = π/a, β = π/b, γ = π/c.
9. Определим kг2:
kг2 = (π/a)2 + (π/b)2 + (π/c)2
10. Ф (x,y,z) = C1C2C3cos(π/ax)cos(π/by)cos(π/cz)
11. С практической точки зрения желательно иметь минимальный критический объем, т.к. чем меньше отработанного топлива выгружается, тем лучше. Для параллелепипеда Vmin = a3, причем площадь поверхности здесь также будет минимальна, а значит и вероятность избежать утечку нейтронов ωn, ωm будет максимальна.
12. Определим минимальный критический объем АЗ:
kг2 = (π/a)2 + (π/b)2 + (π/c)2 = 3(π/a)2 =
km2 → Vmin = (√3π/kм)3 ≈ 161/km3
Шар:
1. kг2 = (π/R)3 = km2
2. Т.к. распределение потоков по радиусу и высоте неодинаково, то оптимальное соотношение H/2R ≠ 1 = 0.924, Vmin ≈ 130/km3
Из инженерных соображений принимается цилиндрическая форма, хотя шар – самый экономичный.
