Идея этого метода заключается в том, что на каждом k-м шаге последовательной оптимизации вводится уступка ΔQ_k-1, характеризующая допустимое отклонение (k — 1)-го частного критерия от его минимального значения:

Q₁(x₁*) = min Q₁(x); Q_k(x_k*) = min Q_k(x), (2.45)

где

D_k = D∩D_k-1; D_k-1 = {x|Q_j(x) ≤ Q_j(x_j*) + ΔQ_j, j = 1, 2, …, k-1}.

Введение уступки ΔQ_k-1 no (k — 1)-му наиболее важному критерию позволяет улучшить значение k-го менее важного частного критерия. При этом для каждого k-го критерия видно, ценой каких уступок по (к — 1)-му критерию приобретается тот или иной выигрыш.

Введение уступок ΔQ_k в виде относительных отклонений частного критерия Q_k (х) от его минимального значения Q_k* = Q_k (x_k*):

ω_k = (Q_k (x) — Q_k*)/Q_k*, k = 1, 2, …, s,

позволяет свертывание векторного критерия оптимальности реализовать с помощью метода минимизации уступок:

min {∑c_kω_k} (2.46)

при условии, что

(Q_k (х) — Q_k*)/Q_k* ≤ ω_k, k = 1, 2, …, s,

где c_k > 0 — весовые коэффициенты, определяющие важность уступки по k-му частному критерию оптимальности.

В частном случае равноценных и одинаковых уступок (c_k = 1/s и ω = ω_k — для всех k = 1, 2, …, s) задача параметрической оптимизации (2.46) принимает следующий вид:

min ω (2.47)

при условии, что

(Q_k (х) — Q_k*)/Q_k* ≤ ω, k = 1, 2, …, s.

Решение задачи (2.47) позволяет получить не улучшаемое решение х°∈D_k, которое минимизирует общий верхний предел ω для относительных отклонений каждого частного критерия оптимальности Q_k (х) от его минимального возможного значения Q_k* = Q_k (x_k*).

Для несоизмеримых между собой по важности частных критериев оптимальности можно предположить, что они являются равноценными (одинаковыми по важности) для лица, принимающего решение. В этом случае естественным является стремление уравнять все значения однородных частных критериев между собой:

min Q_k(x), (2.48)

при условии, что

Q₁(x) = Q₂ (x) = … = Q_k (x) = … = Q_s (x).

Недостатком этого метода, называемого методом равенства частных критериев, является то, что в некоторых случаях задача (2.48) может оказаться неразрешимой либо ее оптимальное решение х* не будет являться эффективной точкой для исходной задачи векторной оптимизации.

Свертывание однородных частных критериев оптимальности, относительно которых имеется информация о том, что они являются равноценными по важности, может быть осуществлено при помощи аддитивного критерия оптимальности (2.27) с одинаковыми весовыми коэффициентами λ_i = 1/s, i = 1, 2, …, s:

min {1/s ∑Q_i(x)} (2.49)

Оптимальное решение задачи (2.49) обеспечивает получение не улучшаемого решения для исходной задачи векторной оптимизации, которое является «наилучшим в среднем» по всем частным критериям. Для получения не улучшаемого решения задачи векторной оптимизации, которое обеспечивает наилучшее приближение для частного критерия Q_k (х), наиболее удаленного от своего минимального значения
Q_k*, целесообразно применять метод гарантированного результата;

min max |(Q_k(x)-Q_k*)/Q_k*. (2.50)

Оптимальное решение задачи (2.50) обеспечивает наибольшую равномерность всех частных критериев оптимальности за счет подтягивания «наихудшего критерия» (критерия с наибольшим значением) до уровня остальных критериев. Нетрудно видеть, что задача (2.50) эквивалентна задаче параметрической оптимизации (2.47), реализующей метод минимизации равноценных и одинаковых уступок.

В том случае, когда о весовых коэффициентах λ_i однородных частных критериев Q_i (х) известно только то, что они принадлежат множеству

D_λ = {λ|λ_i ≥ λ ≥ 0, i = 1, 2, …, s; ∑λ_i = R},

свертывание векторного критерия оптимальности Q (х) = (Q₁ (х), …, Q_s (х)) можно проводить с помощью принципа гарантированного результата:

min max Ф(Q(x), λ), (2.51)

где Ф (Q (х), λ) — обобщенный критерий оптимальности.

Оптимальное решение х* экстремальной задачи (2.51) обеспечивает наименьшее значение обобщенного критерия оптимальности Ф для самого неблагоприятного сочетания весовых коэффициентов (λ₁, …, λ_s), которые в свою очередь зависят от значений частных критериев Q_i (х), i = 1, …, s, вычисленных в точках х∈D. В общем случае зависимость весовых коэффициентов λ_i от значений векторного критерия получить представляется невозможным. Поэтому рассмотрим решение задачи

max Ф(а(х), λ) (2.52)

для конкретных типов обобщенного критерия оптимальности Ф при фиксированных значениях варьируемых параметров х∈D.

Комментарии запрещены.