Утверждение: Множество С всех бесконечных последовательностей из 0 и 1 несчетно.

Доказательство: (Канторова диагональ). Допустим противное: существует пересчет натуральными числами всех бесконечных последовательностей А1,А2,… из 0 и 1:

А1: a₁₁, a₁₂, a₁₃
А2: a₂₁, a₂₂, a₂₃
А3: …..

Построим множество В: b₁, b₂, b₃, где
b_i=1, если a_ii=0;
b_i=0, если a_ii=1;

Последовательность В в указанный пересчет не входит, ибо множество В отличается от каждого А_i элементом.

Следовательно, множество всех бесконечных последовательностей из 0 и 1 несчетно.

Определение: Множество А имеет континуальную мощность С («це» готическое), если А эквивалентно множеству всех бесконечных последовательностей из 0 и 1.

Замечание: Мощность всех бесконечных последовательностей из 0 и 1 есть эталон континуальной мощности.

Замечание:
1) Множество P (N) всех подмножеств натуральных чисел имеет мощность континуума.
2) Мощность множества всех вещественных чисел континуальна.
3) Мощность множества всех комплексных чисел континуальна.
4) Мощность множеств [0,1], (0,1], [0,1), (0,1) континуальны.

Комментарии запрещены.