Свойство регулярности. Необрывающиеся процессы

Вводные замечания
Необходимость изучения свойства регулярности возникает естественным образом при рассмотрении возможных типов поведения динамических (в широком смысле) систем. Оказывается, что при определенных условиях траектории могут за конечное время «уйти в бесконечность» или иметь бесконечное число скачков. Такое поведение обычно рассматривается как нежелательное или невозможное, поскольку в реальных системах уход координат в бесконечность за конечное время требует либо бесконечной мощности, либо бесконечной интенсивности расхода других ресурсов. Кроме того, со свойством регулярности тесно связаны и другие качественные свойства — ограниченность, устойчивость и свойства, определяемые моментами первого достижения и возвращения.

Необрывающиеся процессы
Найдем условия, при которых кусочно-линейные процессы zt вида, определенного в ранее, определены для всех t∈[0, ∞).

Как уже было указано, процесс zt такого типа является, вообще говоря, обрывающимся. В силу наложенного условия (1.3.2) точкой обрыва может быть лишь момент накопления скачков вследствие дискретного вмешательства случая, который мы обозначим ζ : ζ = lim ζ(j). Будем говорить, что процесс zt с начальным состоянием z регулярен, если для него ζ = ∞ с вероятностью 1, т. е. Рz{ζ = ∞} = 1.

Уместно подчеркнуть, что процесс, регулярный при одном начальном условии, не будет, вообще говоря, таковым при другом начальном условии.

Рассмотрим n-й составляющий подпроцесс zt(n). Найдем некоторые оценки на функцию распределения длительности его жизни. Пусть начальное состояние процесса есть z= (v, zv), v∈N, zv∈Гv. Этому состоянию соответствует время.

t* (z) = inf {u : zv + vvu∉Гv, u > 0}

достижения координатой zv границы Гv при условии отсутствия скачков вследствие непрерывного вмешательства случая. Пусть, как и прежде, Λ = sup λ (z).

Оценим функцию распределения Pz{ζ(1) ≤ x} величины ζ(1)—первого момента дискретного вмешательства случая. Если аргумент х этой функции больше величины t*{z), или равен ей, то оценим ее сверху единицей. Если же х < t*(z), то имеем включение {ζ(1) > х}⊃{за время х не произойдет скачка вследствие непрерывного вмешательства случая}. (1)

Но вероятность «меньшего» события в (1) оценивается снизу величиной ехр(-Λx). Следовательно,

Pz{ζ(1) ≤ x} ≤ 1 — exp (-Λx), x < t*(z), (2)

Пусть δ > 0. Обозначим через Tδ такое подмножество Z, для любого элемента z которого время t*(z) > δ, т. е.

Tδ = {z: t*{z) > δ}. (3)

Из (2) и (3) следует, что для z∈Tδ

Pz{ζ(1) ≤ x} ≤ 1 — exp (-Λx), x < δ, (4)

Отсюда в силу однородности марковского процесса zt имеем при z ∈ Тδ

Р{ζ(n + 1) — ζ(n) ≤ x/zζ(n) = z} ≤ 1 — ехр(-Λx), х < δ. (5)

Предположим теперь, что выполнено следующее

Условие А. Существуют числа δ > 0 и 0 ≤ ε < 1 такие, что

inf P(2){z;Tδ} ≥ 1 — ε. (6)

Условие А требует, чтобы из любой граничной точки z процесс «отбрасывался» в множество Тδ (из которого граница Z* достижима при отсутствии непрерывного вмешательства случая лишь за время, большее δ) с положительной вероятностью (≥ 1 — ε).

Если процесс zt удовлетворяет условию А, то из (5) и (6) получим, что

sup Р {ζ(n + 1) — ζ(n) ≤ x/zn* = z} ≤ K(x). (7)

Поскольку оценка (7) равномерна по z∈Z*, то из нее следует, что

sup Pz{ζ(n + 1) ≤ x} ≤ Kn*, (8)

где Кn* — n-кратная свертка функции К. Но Kn*(х) → 0 при любом х > 0. Поэтому из неравенства (8) получаем, что при любых z ∈ Z и х > 0

lim Рz(ζ(n) ≤ х} = 0,

или, что то же,

Pz{ζ < ∞} = 0. Таким образом, процесс z, рассмотренного вида, удовлетворяющий условию А, регулярен при любом начальном состоянии. В ряде случаев, однако, условие А является стеснительным. Сформулируем менее жесткое условие, при котором равенство (8) сохраняет силу. Вместо функции Р(2) рассмотрим последовательность функций {Р2(n){z; •}), z∈Z*, определяемую рекуррентно:

P2(1){z; •}=P(2){z; •},

P2(k+1){z; •}=∫P2(k){z;dy}P(2){y*; •}, k ≥ 1,

где при состоянии у вида (v, уv) у* имеет вид у* = (v, уv + t*(y)vv), т. е. у* — состояние из множества Z*, в которое попала бы траектория, начинающаяся в у, если бы не было скачков вследствие непрерывного вмешательства случая.

Смысл вероятностей P2(k) {z; B} очевиден —это распределение состояний процесса непосредственно после k скачков вследствие дискретного вмешательства случая при отсутствии скачков вследствие непрерывного вмешательства случая и при начальном состоянии z∈Z*.

Условие В. Существуют числа δ > 0, 0 ≤ ε < 1 и целое N ≥ 1 такие, что

inf max P2(k){z; Tδ} ≥ 1 — ε. (10)

Физический смысл условия В весьма прост. Оно требует, чтобы из любой граничной точки z процесс «отбрасывался» не более чем за N шагов в множество Тδ с положительной вероятностью (≥ 1 — ε).

Очевидно, условие А есть частный случай условия В.

Лемма 1. Если процесс zt удовлетворяет условию В, то при любом z∈Z имеет место

Рz{ζ = ∞} = 1. (11)

Доказательство. Из условия В, так же как и при доказательстве неравенства (7), можно получить, что для любого k ≥ 0

sup P(ζ(k + 1)N — ζ(kN) ≤ x/zkN* = z} ≤ K(x).

Отсюда, как и выше, следует регулярность процесса zt.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru