Наиболее общей математической моделью принятия оптимального решения является задача многокритериальной оптимизации (1.47)— (1.49), в которой требуется найти минимум одновременно по всем компонентам векторного критерия Q = (Q₁, Q₂, …, Q_s). Естественно возникают вопросы: в чем природа такой модели принятия решения и насколько часто она встречается в задачах схемотехнического проектирования электронных схем. Для ответа на них рассмотрим различные классы задач оптимального проектирования и выясним причины, которые приводят к необходимости использовать там векторный критерий оптимальности.

I. Одной из причин, приводящей к многокритериальное, является множественность технических требований, которые предъявляются к характеристикам проектируемого устройства.

Их можно свести к системе неравенств:

φ_i (х) ≤ φ_i⁺, i= 1, 2, .., m. (2.1)

В этом случае частные критерии оптимальности обычно в явном виде отсутствуют и их приходится вводить искусственно с помощью выражений вида:

Q_i(x) = 0, если φ_i (х) ≤ φ_i⁺; (2 2)
Q_i(x) = c_i(φ_i (х) — φ_i⁺) — в противном случае.

Здесь c_i > 0 — весовой коэффициент, учитывающий важность i-го ограничения (∑c_i = 1). Таким образом, решение системы неравенств (2.1) сводится к решению задачи векторной оптимизации:

min Q₁(x); min Q₂(x);…, min Q_m(x). (2.3)

Если среди x∈D, не существует таких значений, для которых все Q_i (х) = 0, i = 1, 2, …, m, то технические требования (2.1) являются противоречивыми и следует, задав новые предельные значения φ_i⁺, повторить решение задачи векторной оптимизации (2.3).

Наиболее типичными задачами данного класса являются следующие задачи схемотехнического проектирования.

1. Обеспечение заданных условий функционирования проектируемого устройства. Например, при расчете электронной схемы по постоянному току требуется выбрать значения сопротивлений х таким образом, чтобы обеспечивался заданный режим работы s транзисторов. В этом случае, определив частные критерии оптимальности как ошибки, связанные с несовпадением рабочих точек транзисторов (i_k, u_k)_j с требуемыми значениями коллекторного тока и падения напряжения между коллектором и эмиттером (u_k^T)_j, приходим к
задаче векторной оптимизации вида:

min [i_k(x) — i_k^T]_j²; min [u_k(x) — u_k^T]_j², j = 1,2, …, s.

2. Проверка на непротиворечивость технических требований и определение хотя бы одного варианта проектируемого устройства, удовлетворяющего условиям работоспособности (2.1). Например, условия работоспособности логического элемента ЭВМ определяются следующими характеристиками: условиями существования двух уровней выходного сигнала, соответствующих 0 и 1; требуемыми значениями длительностей задержек и фронтов выходного сигнала; допустимой рассеиваемой мощностью; заданными запасами помехоустойчивости. Введение частных критериев оптимальности по формуле (2.2) для этих характеристик логического элемента приводит к задаче векторной оптимизации (2.3), Геометрически решение этой задачи связано с определением хотя бы одной точки х, принадлежащей допустимой области D_x.

3. Поиск «наилучшего» (в смысле удовлетворения техническим требованиям (2.1)) варианта проектируемого устройства. В этом случае стремятся выбрать управляемые параметры х таким образом, чтобы значение i-й характеристики φ_i(х) как можно больше отличалось от своих предельных значений φ_i^—, φ_i⁺. Этого можно достигнуть, решая
задачу векторной оптимизации

max Q₁(x);… max Q_n(x), (2.4)

где

Q_i (x) = min [c_i^— (φ_i(х) — φ_i^—), c_i⁺ (φ_i⁺ — φ_i(х))];

c_i^—, c_i⁺ — положительные весовые коэффициенты, учитывающие важность предельных значений i-й характеристики. Геометрически решение задачи (2.4) связано с определением точки х∈D, которая наиболее удалена от границ допустимой области

D = (х|φ_i^— ≤ φ_i(х) ≤ φ_i⁺, i = 1, …, m}.

4. Установление тестовых норм при стыковке» проектируемого устройства с другими устройствами того же или другого типа. Например, при проектировании логических элементов ЭВМ, которые должны правильно функционировать при их электрическом соединении в сложных устройствах, кроме условий работоспособности, приходится вводить дополнительные ограничения, называемые условиями взаимозаменяемости:

f_k^— ≤ f_k(х) ≤ f_k⁺, k = 1, 2, …, р,

где f_k^—, f_k⁺ — тестовые нормы на k-й стыковочный параметр (для логических элементов — это уровни пороговых и выходных токов и напряжений). Решение этой задачи сводится к задаче векторной оптимизации, в которой управляемые параметры х и тестовые нормы f необходимо выбрать таким образом, чтобы обеспечить максимальное значение каждого из (m + p) частных критериев оптимальности;

Q_i (х) = c_i^— (φ_i⁺ — φ_i(х) ), i=1, 2, …, m;

Q_k (х) = min [c_k^— (f_k (х) — f_k^—), c_k⁺ (f_k⁺ — f_k (х))], k = 1, 2, …, p.

5. Выравнивание экспериментальных данных. При проектировании электронных схем часто требуется определить значения управляемых параметров х таким образом, чтобы выходная характеристика φ(х, v) проектируемого устройства как можно лучше совпадала с экспериментально полученными в точках v_i значениями φ^э (v_i). Задавая для каждого значения v_i функцию ошибки с помощью выражений:

Q_i (x) = c_i[φ (х, v_i) — φ^э (v_i)]²
или
Q_i (x) = c_i|φ(х, v_i) — φ^э (v_i)|,

которые указывают, в какой степени расчетная выходная характеристика обеспечивает получение требуемых значений, приходим к задаче векторной оптимизации (2.3). Этот подход легко обобщается на случай аппроксимации нескольких экспериментально заданных выходных характеристик.

6. Обеспечение требуемой спецификации для выходной характеристики φ(х, v) проектируемого устройства, заданной на нескольких интервалах изменения параметра v∈[v_k^—, v_k⁺], k = 1, 2, …, s. Например, для рабочего затухания φ(х, ω) полосового фильтра (рис. 1.3) условия работоспособности связаны с выполнением следующей системы неравенств в полосе пропускания Е_п и полосе задержания Е₃:

φ_0^— ≤ φ (х, ω) ≤ φ_0⁺, ω∈Е_п;

φ_1⁺ ≤ φ(х, ω), ω∈Е_з. (2.5)

Система ограничений (2.5) обычно называется спецификацией, которая определяет вид выходной характеристики φ(х, v) в заданных диапазонах изменения параметра v. Определение управляемых параметров х, обеспечивающих выполнение заданной спецификации для любых v∈[v_k^—, v_k⁺], сводится к задаче (2.3) при помощи введения для каждого подынтервала [v_k^—, v_k⁺] функции Q_i (х), определяющей расстояние между характеристикой φ(х, v) и ее предельными значениями φ^—, φ⁺:

Q_i (x) = min [φ(х, v)] — φ^—, если требуемое ограничение имеет вид:
φ^— ≤ φ(х, v) для всех v∈[v_i^—, v_i⁺];

Q_i (x) = φ⁺ — max[φ(х, v)] , если требуемое ограничение имеет вид:
φ(х, v) ≤ φ⁺ для всех v∈[v_i^—, v_i⁺].

Комментарии запрещены.