Мощность континуума

Утверждение: Множество С всех бесконечных последовательностей из 0 и 1 несчетно.

Доказательство: (Канторова диагональ). Допустим противное: существует пересчет натуральными числами всех бесконечных последовательностей А1,А2,… из 0 и 1:

А1: a11, a12, a13
А2: a21, a22, a23
А3: …..

Построим множество В: b1, b2, b3, где
bi=1, если aii=0;
bi=0, если aii=1;

Последовательность В в указанный пересчет не входит, ибо множество В отличается от каждого Аi элементом.

Следовательно, множество всех бесконечных последовательностей из 0 и 1 несчетно.

Определение: Множество А имеет континуальную мощность С («це» готическое), если А эквивалентно множеству всех бесконечных последовательностей из 0 и 1.

Замечание: Мощность всех бесконечных последовательностей из 0 и 1 есть эталон континуальной мощности.

Замечание:
1) Множество P (N) всех подмножеств натуральных чисел имеет мощность континуума.
2) Мощность множества всех вещественных чисел континуальна.
3) Мощность множества всех комплексных чисел континуальна.
4) Мощность множеств [0,1], (0,1], [0,1), (0,1) континуальны.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru