Четыре причины многокритериальности в задачах

1. Причиной многокритериальности является необходимость обеспечения оптимальности проектируемого устройства при различных условиях его функционирования, т. е. обеспечение экстремальных значений критерия оптимальности при неопределенности условий, в которых приходится работать устройству. При этом неопределенность может иметь либо количественный характер, выраженный с помощью параметра v, что приводит к задаче оптимизации вида

min Q (x, v) для всех v∈[v, v+], (2.6)

либо качественный характер, связанный с указанием конкретных условий функционирования. В последнем случае эффективность и качество работы устройства для каждого режима могут быть охарактеризованы различными критериями оптимальности. Например, в зависимости от исходного состояния для логического элемента представляет опасность либо помеха Q1 (х), вызывающая запирание схемы, либо помеха Q2 (х), приводящая к отпиранию схемы. Тогда, если под помехоустойчивостью логической схемы понимать минимальный порог срабатывания максимально чувствительной схемы, задача оптимального проектирования логического элемента может быть сформулирована как задача векторной оптимизации следующего вида:
max Q1 (х); max Q2 (х),

где D — допустимая область работоспособности логического элемента.

Если неопределенность функционирования имеет количественный характер, то задача оптимизации (2.6) сводится к задаче векторной оптимизации (2.3) путем дискретизации критерия оптимальности Q (x, v) по параметру v и рассмотрению в качестве частных критериев оптимальности функций:

Qi (х) = Q (х, v1), где vi∈[v, v+],

Такой подход к задаче оптимального проектирования позволяет учитывать влияние внешних факторов (температуры, ускорения, радиации и т. д.) на критерий оптимальности и ограничения проектируемого устройства.

В частном случае параметром v может быть время. Тогда, если эффективность функционирования проектируемого устройства зависит от его входных воздействий z(t), то, дискретизуя временной интервал [t, t+], приходим к задаче векторной оптимизации вида:

min Q1(x); … min Qs(x), (2.7)

где

Qi (x) = Q (х, z (ti), ti), i = 1, 2, … s.

Решение задачи (2.7) позволяет обеспечить оптимальность характеристик динамической системы в пределах некоторого интервала времени [t, t+]

2. При постановке задачи оптимального проектирования одним из основных вопросов является выбор критерия оптимальности Q(х). С одной стороны, критерий должен иметь конкретный физический смысл, а с другой — от него требуется, чтобы он как можно полнее характеризовал проектируемое устройство: Однако требованиям функциональной полноты трудно удовлетворить с помощью только одного скалярного показателя, так как он обычно описывает конкретное свойство устройства. В связи с этим приходится рассматривать совокупность показателей (Q1, …, Qs), каждый из которых имеет наглядную физическую интерпретацию и позволяет оценить качество оптимального решения х* с различных точек зрения.

Таким образом, необходимость обеспечения функциональной полноты показателей, конкретизирующих оптимальные свойства проектируемого устройства, при одновременной их физической наглядности приводит к многокритериальности, которая вытекает прямо из постановки задачи оптимального проектирования. Например, при проектировании транзисторного логического элемента ЭВМ необходимо рассматривать одновременно несколько частных критериев оптимальности Qi (х), отражающих различные свойства схемы, что приводит к следующей задаче векторной оптимизации:

max Q1(x); max Q2(x); max Q3(x); min Q4(x); min Q5(x).

Здесь D — допустимая область работоспособности схемы; Qj (х) — нагрузочная способность; Q2 (х), Q3(x) — статическая помехоустойчивость в закрытом состоянии к отпирающей по напряжению помехе и к запирающей — по току, действующей в открытой схеме, соответственно; Q4 (х) — рассеиваемая мощность; Q5 (х) — среднее время задержки сигнала. Оптимальный вариант логической схемы должен иметь экстремальные значения по каждому из частных критериев (Q1, …, Q5). Однако оптимизация по каждому из них в отдельности приводит к оптимальным решениям, которые отличаются друг от друга. Это связано с тем, что рассматриваемые критерии является противоречивыми. Так, увеличение нагрузочной способности приводит к увеличению среднего времени задержки сигнала, уменьшение рассеиваемой мощности — к снижению быстродействия схемы, а увеличение статической помехоустойчивости — к уменьшению нагрузочной способности.

IV. В тех случаях, когда проектируемое устройство состоит из нескольких взаимосвязанных узлов и блоков, оптимальность всего устройства определяется эффективностью и качеством его отдельных частей, каждая из которых может быть охарактеризована, по крайней мере, хотя бы одним частным критерием оптимальности Qi(х). В этом случае функционирование всего устройства можно считать наилучшим, если за счет выбора управляемых параметров х обеспечиваются экстремальные значения всех частных критериев оптимальности как основных подцелей одной общей цели проектирования. В принципе здесь тоже можно говорить о множественности, но только уже не характеристик, а подсистем, из которых состоит проектируемое устройство.

Пусть проектируемое устройство состоит из М компонент, каждая из которых может быть охарактеризована своим вектором управляемых параметров хi∈Di, i = 1, 2, …, М. Требуется выбрать параметры устройства х = (х1, х2, …, хM) таким образом, чтобы площадь подложки S (х), занимаемая проектируемым устройством, была минимальной при условии, что его рассеиваемая мощность Р (х) не больше предельно допустимого значения Р+. Очевидно, что в качестве частных критериев оптимальности можно выбрать площадь подложки Si (х), занимаемую каждой компонентой. Хотя управляемые параметры хi для каждого частного критерия оптимальности Sii) определены в разных допустимых областях Di их нельзя выбрать независимо, так как они связаны между собой ограничивающим условием, что суммарная рассеиваемая мощность ∑Pi (xi) не Должна быть больше предельного допустимого значения Р+ для всего устройства:

min S1(x1);… min SMM) (2.8)

при условии, что

∑Pi (xi) ≤ Р+

Для того чтобы освободиться от связей между управляемыми параметрами х, произведем декомпозицию задачи векторной оптимизации (2.8) путем разделения ее на (М + 1)-у задачу параметрической оптимизации разных уровней. Первый уровень включает раздельное решение М задач параметрической оптимизации для фиксированных значений параметра β = (β1, …, βM):

min Sii) (2.9)

при условии, что

Pi (xi) ≤ β+

Обозначим решение каждой из задач (2.9) через Si* (βi), i = 1.2, …, М. На втором уровне определяются значения параметров βi, i = 1, 2, …, М, из решения задачи параметрической оптимизации:

min ∑ Si* (βi) (2.10)

при условии, что

∑ βi ≤ P+

Таким образом, решение задачи векторной оптимизации (2.8) сводится к решению задачи параметрической оптимизации (2.10), на каждом шаге которой, в свою очередь, решаются М задач параметрической оптимизации (2.9).

4. Другой ситуацией, приводящей к многокритериальности, является случай, когда функционально-логическая модель проектируемого устройства отсутствует и требуется ее построить таким образом, чтобы внешние параметры устройства наилучшим образом соответствовали экспериментальным данным. В связи с этим параметры модели х, построенной с помощью эквивалентных схем замещения компонент, могут не иметь непосредственного отношения к внутренним процессам в устройстве, а должны подбираться так, чтобы наилучшим образом (в некотором смысле) аппроксимировать экспериментально полученные внешние параметры проектируемого устройства. Например, рассмотрим четырехполюсник (высокочастотный транзистор, элемент неоднородности и т. д.), внешние параметры которого можно описать при помощи S-матрицы с элементами:

Sik (х, ω) = Re Sik (х, ω) + j Im Sik (х, ω), i, k = 1, 2, ω∈[ω, ω+]

Здесь х — параметры функционально-логической модели проектируемого устройства (например, для высокочастотного транзистора это могут быть параметры гибридной П-образной эквивалентной схемы с паразитными элементами). Тогда задача выбора управляемых параметров х, обеспечивающих наилучшую аппроксимацию в заданном частотном диапазоне [ω, ω+] экспериментально полученных зависимостей Re Sikэl) и Im ikэl), где ωl∈[ω, ω+], может быть сформулирована как задача векторной оптимизации с восемью частными критериями оптимальности:

min max [(Re Sik(x, ω) — Re Sikэ(ω))2],

min max [(Im Sik(x, ω) — Im Sikэ(ω))2], i, k = 1, 2.

К задачам векторной оптимизации также могут быть сведены задача синтеза линейных электронных схем по заданному дробно-рациональному выражению, задачи непрерывных или дискретных эквивалентных преобразований электронной схемы и задачи многоуровневой унификации и типизации, связанные с построением оптимальных параметрических рядов.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru