Образовательный блог – всё для учебы

1. Причиной многокритериальности является необходимость обеспечения оптимальности проектируемого устройства при различных условиях его функционирования, т. е. обеспечение экстремальных значений критерия оптимальности при неопределенности условий, в которых приходится работать устройству. При этом неопределенность может иметь либо количественный характер, выраженный с помощью параметра v, что приводит к задаче оптимизации вида

minQ (x, v) для всех v?[v^-, v⁺], (2.6)

либо качественный характер, связанный с указанием конкретных условий функционирования. В последнем случае эффективность и качество работы устройства для каждого режима могут быть охарактеризованы различными критериями оптимальности. Например, в зависимости от исходного состояния для логического элемента представляет опасность либо помеха Q₁ (х), вызывающая запирание схемы, либо помеха Q₂ (х), приводящая к отпиранию схемы. Тогда, если под помехоустойчивостью логической схемы понимать минимальный порог срабатывания максимально чувствительной схемы, задача оптимального проектирования логического элемента может быть сформулирована как задача векторной оптимизации следующего вида:
max Q₁ (х); max Q₂ (х),

где D — допустимая область работоспособности логического элемента.

Если неопределенность функционирования имеет количественный характер, то задача оптимизации (2.6) сводится к задаче векторной оптимизации (2.3) путем дискретизации критерия оптимальности Q (х, У) по параметру v и рассмотрению в качестве частных критериев оптимальности функций:

Q_i (х) = Q (х, v₁), где v_i?[v^-, v⁺],

Такой подход к задаче оптимального проектирования позволяет учитывать влияние внешних факторов (температуры, ускорения, радиации и т. д.) на критерий оптимальности и ограничения проектируемого устройства.

В частном случае параметром v может быть время. Тогда, если эффективность функционирования проектируемого устройства зависит от его входных воздействий г (t), то, дискретизуя временной интервал [t^-, t⁺], приходим к задаче векторной оптимизации вида:

min Q₁(x); … min Q_s(x), (2.7)

где

Q_i (x) = Q (х, z (t_i), t_i), i = 1, 2, … s.

Решение задачи (2.7) позволяет обеспечить оптимальность характеристик динамической системы в пределах некоторого интервала времени [t^-, t⁺]

2. При постановке задачи оптимального проектирования одним из основных вопросов является выбор критерия оптимальности Q(х). С одной стороны, критерий должен иметь конкретный физический смысл, а с другой — от него требуется, чтобы он как можно полнее характеризовал проектируемое устройство: Однако требованиям функциональной полноты трудно удовлетворить с помощью только одного скалярного показателя, так как он обычно описывает конкретное свойство устройства. В связи с этим приходится рассматривать совокупность показателей (Q₁, …, Q_s), каждый из которых имеет наглядную физическую интерпретацию и позволяет оценить качество оптимального решения х* с различных точек зрения.

Таким образом, необходимость обеспечения функциональной полноты показателей, конкретизирующих оптимальные свойства проектируемого устройства, при одновременной их физической наглядности приводит к многокритериальности, которая вытекает прямо из постановки задачи оптимального проектирования. Например, при проектировании транзисторного логического элемента ЭВМ необходимо рассматривать одновременно несколько частных критериев оптимальности Q_i (х), отражающих различные свойства схемы, что приводит к следующей задаче векторной оптимизации:

max Q₁(x); max Q₂(x); max Q₃(x); min Q₄(x); min Q₅(x).

Здесь D — допустимая область работоспособности схемы; Qj (х) — нагрузочная способность; Q₂ (х), Q₃(x) — статическая помехоустойчивость в закрытом состоянии к отпирающей по напряжению помехе и к запирающей — по току, действующей в открытой схеме, соответственно; Q₄ (х) — рассеиваемая мощность; Q₅ (х) — среднее время задержки сигнала. Оптимальный вариант логической схемы должен иметь экстремальные значения по каждому из частных критериев (Q₁, …, Q₅). Однако оптимизация по каждому из них в отдельности приводит к оптимальным решениям, которые отличаются друг от друга. Это связано с тем, что рассматриваемые критерии является противоречивыми. Так, увеличение нагрузочной способности приводит к увеличению среднего времени задержки сигнала, уменьшение рассеиваемой мощности — к снижению быстродействия схемы, а увеличение статической помехоустойчивости — к уменьшению нагрузочной способности.

IV. В тех случаях, когда проектируемое устройство состоит из нескольких взаимосвязанных узлов и блоков, оптимальность всего устройства определяется эффективностью и качеством его отдельных частей, каждая из которых может быть охарактеризована, по крайней мере, хотя бы одним частным критерием оптимальности Q_i(х). В этом случае функционирование всего устройства можно считать наилучшим, если за счет выбора управляемых параметров х обеспечиваются экстремальные значения всех частных критериев оптимальности как основных подцелей одной общей цели проектирования. В принципе здесь тоже можно говорить о множественности, но только уже не характеристик, а подсистем, из которых состоит проектируемое устройство.

Пусть проектируемое устройство состоит из М компонент, каждая из которых может быть охарактеризована своим вектором управляемых параметров хⁱ?D_i, i = 1, 2, …, М. Требуется выбрать параметры устройства х = (х¹, х², …, х^M) таким образом, чтобы площадь подложки S (х), занимаемая проектируемым устройством, была минимальной при условии, что его рассеиваемая мощность Р (х) не больше предельно допустимого значения Р⁺. Очевидно, что в качестве частных критериев оптимальности можно выбрать площадь подложки S_i (х), занимаемую каждой компонентой. Хотя управляемые параметры хⁱ для каждого частного критерия оптимальности S_i (хⁱ) определены в разных допустимых областях D_i их нельзя выбрать независимо, так как они связаны между собой ограничивающим условием, что суммарная рассеиваемая мощность ? P_i (xⁱ) не Должна быть больше предельного допустимого значения Р⁺ для всего устройства:

min S₁(x¹);… min S_M (х^M) (2.8)

при условии, что

? P_i (xⁱ) ? Р⁺

Для того чтобы освободиться от связей между управляемыми параметрами х, произведем декомпозицию задачи векторной оптимизации (2.8) путем разделения ее на (М + 1)-у задачу параметрической оптимизации разных уровней. Первый уровень включает раздельное решение М задач параметрической оптимизации для фиксированных значений параметра ? = (?₁, …, ?_M):

min S_i (хⁱ) (2.9)

при условии, что

? P_i (xⁱ) ? ?⁺

Обозначим решение каждой из задач (2.9) через S_i* (?_i), i = 1.2, …, М. На втором уровне определяются значения параметров ?_i, i = 1, 2, …, М, из решения задачи параметрической оптимизации:

min ? S_i* (?ⁱ) (2.10)

при условии, что

? ?_i ? P⁺

Таким образом, решение задачи векторной оптимизации (2.8) сводится к решению задачи параметрической оптимизации (2.10), на каждом шаге которой, в свою очередь, решаются М задач параметрической оптимизации (2.9).

4. Другой ситуацией, приводящей к многокритериальности, является случай, когда функционально-логическая модель проектируемого устройства отсутствует и требуется ее построить таким образом, чтобы внешние параметры устройства наилучшим образом соответствовали экспериментальным данным. В связи с этим параметры модели х, построенной с помощью эквивалентных схем замещения компонент, могут не иметь непосредственного отношения к внутренним процессам в устройстве, а должны подбираться так, чтобы наилучшим образом (в некотором смысле) аппроксимировать экспериментально полученные внешние параметры проектируемого устройства. Например, рассмотрим четырехполюсник (высокочастотный транзистор, элемент неоднородности и т. д.), внешние параметры которого можно описать при помощи S-матрицы с элементами:
S_ik (х, ?) = Re S_ik (х, ?) + j Im S_ik (х, ?), i, k = 1, 2, ??[?^-, ?⁺]

Здесь х — параметры функционально-логической модели проектируемого устройства (например, для высокочастотного транзистора это могут быть параметры гибридной П-образной эквивалентной схемы с паразитными элементами). Тогда задача выбора управляемых параметров х, обеспечивающих наилучшую аппроксимацию в заданном частотном диапазоне [?^-, ?⁺] экспериментально полученных зависимостей Re S_ik^э(?_l) и Im _ik^э(?_l), где ?_l?[?^-, ?⁺], может быть сформулирована как задача векторной оптимизации с восемью частными критериями оптимальности:

min max [(Re S_ik(x, ?) — Re S_ik^э(?))²],

min max [(Im S_ik(x, ?) — Im S_ik^э(?))²], i, k = 1, 2.

К задачам векторной оптимизации также могут быть сведены задача синтеза линейных электронных схем по заданному дробно-рациональному выражению, задачи непрерывных или дискретных эквивалентных преобразований электронной схемы и задачи многоуровневой унификации и типизации, связанные с построением оптимальных параметрических рядов.

1. Природа многокритериальности в задачах оптимального проектирования
2. Задача квадратичного программирования
3. Метод последовательных уступок.
4. влияние внешних условий на функционирование модели
5. Математические модели принятия решений
6. Формализация технических требований, предъявляемых к параметрам и характеристикам проектируемого устройства
7. представления электронной схемы в виде физической системы
8. Построения функционально-структурной модели
9. Свертывание векторного критерия оптимальности методом выделения главного критерия
10. Многомерный случай для задач безусловной минимизации
11. Условия Куна-Таккера для условной оптимизации
12. Актуальность проектирования
13. Условия оптимальности для задачи условной оптимизации
14. Условия оптимальности для некоторых классов моделей принятия решений
15. Упорядочение векторных критериев оптимальности при помощи обобщенной функции цели
16. Постановка задачи поиска и оптимизации проектных решений
17. Особенности проектирования ЭМУС