Правила построения функции Ляпунова в виде связки интегралов методом Четаева

Функция Ляпунова для исследования устойчивости невозмущенного движения строится в
виде суммы первых интегралов уравнений возмущенного движения (3.5.1)

V = λ1V1 + λ2V2 + …+ λkVk + μ1V12 + μ2V22 + …+ μkVk2 = const, (3.16)

где

Vj (x) = Uj(x) − Uj(0), (j = 1, …, k; k < N), (3.17)

λ1=1 (можно принять), λ2, …, λk, μ1, μ2, …, μk − неопределенные постоянные.

Построенная таким образом функция Ляпунова (3.16) также является первым интегралом уравнений возмущенного движения (3.5.1).

2. Неопределенные постоянные λ2, …, λk, μ1, μ2, …, μk выбираются таким образом, чтобы
функция Ляпунова V(x) была знакоопределенной.

Замечание 3.7. Если при разложении функции V(x) в ряд по степеням отклонений x1, x2, …, xN имеются линейные члены, то постоянные λ1, λ2 , …, λk выбираются из условия отсутствия линейных членов функции V(x).

Теорема. Если можно найти постоянные λ2, …, λk, μ1, μ2, …, μk так, чтобы функция Ляпунова V(x) (3.16) будет знакоопределенной, то невозмущенное движение x=0 будет устойчивым по Ляпунову относительно величин x1, x2, …, xN.

Доказательство: По условию теоремы построенная функция Ляпунова (3.16) является знакоопределенной, а ее полная производная в силу уравнений возмущенного движения тождественно равна нулю в силу того, что функция V(x) является первым интегралом этих уравнений. Действительно:

V |(3.5.1) = λ1V1 + λ2V2 + …+ λkVk+ μ1 V1 V1 + μ2 V2 V2 + … + μk Vk Vk(3.5.1) ≡ 0. (3.18)

Следовательно, функция V(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости и невозмущенное движение x=0 является устойчивым по Ляпунову относительно величин x1, x2, …, xN. Теорема доказана.

Замечания 3.8
1. Достаточно часто можно положить все μm = 0 (m = 1, …, k), т.е. построить функцию Ляпунова в виде линейной связки интегралов

V = V1 + λ2V2+ …+ λkVk = const, (3.19)

2. Как правило, все постоянные μm кроме одного можно положить равными нулю, т.е.
построить функцию Ляпунова, например, в виде

V = V1 + λ2V2+ …+ λkVk + μmVm2 = const, (3.20)

3. Поскольку в методе Четаева не используется вид уравнений движения рассматриваемой системы, то этот метод позволяет строить функцию Ляпунова также и для систем с бесконечным числом степеней свободы (например, для систем твердых тел, содержащих жидкость и/или упругие элементы).

4. Сформулированная теорема сохраняет силу также в случае, когда функция V(x) не является интегралом уравнений движения, а является некоторой функцией, не возрастающей (или не убывающей) в силу уравнений движения системы. В этом случае
функция Ляпунова (3.16) будет знакоопределенной, а ее производная V(3.5.1) знакопостоянной функцией противоположного знака с V. Например, в случае, если на
консервативную систему действуют диссипативные силы, то теорема об изменении полной энергии имеет вид

d(Т + П)/dt = − 2R, (3.21)

где R – диссипативная функция Рэлея.

Более подробно понятия и методы теории устойчивости движения можно найти в литературе.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru