Образовательный блог – всё для учебы

Задачи 1. Найти точки экстремума (критические точки) для функций:
1) V₅(x₁, x₂) = x₁ ? 3 x₂ + x₁ x₂,
2) V₆(x₁, x₂) = x₁³ ? x₂² ? 2x₁²,
3) V₇(x₁, x₂) = 3x₁² + x₂² ? x₁³,
4) V₈(x₁, x₂) = x₁³ +4 x₂³+ x₂⁴.

Определение 1.
1° Если в точке x₁=x₂=…=x_n=0 функция V(x) имеет локальный экстремум (минимум, максимум) и в любой малой окрестности этой точки нет других экстремумов, то данная
точка x₁=x₂=…=x_n=0 называется точкой изолированного экстремума.
2° Если в любой малой окрестности нуля существуют другие экстремумы функции V(x), то
точка x₁=x₂=…=x_n=0 называется точкой неизолированного экстремума.

Пример 2. Для V₁ = x₁² + x₂² точка x₁ = x₂ = 0 является точкой изолированного минимума.

Для V₂ = (x₁ ? x₂)² точка x₁ = x₂ = 0 является точкой неизолированного минимума.

Задачи 2. Какие точки экстремума следующих функций являются изолированными, какие неизолированными:
1) V₆(x₁, x₂) = x₁³ ? x₂² ? 2x₁²,
2) V₇(x₁, x₂) = 3x₁² + x₂² ? x₁³,
3) V₉(x₁, x₂) = x₁² + 4 x₁x₂+ 4x₂
2, 4) V₁₀(x₁, x₂, x₃) = (2x₁ + x₂)²+ (x₂ ? x₃)²,

Знакопеременные, знакопостоянные и знакоопределенные функции

Определение 2. Если в области (3.1) функция V(x) может принимать как положительные,так и отрицательные значения, то она называется знакопеременной.

Определение 3. Функция V = V(x) называется знакопостоянной (постоянно-положительной или постоянно-отрицательной), если в области (3.1)

1. V(0) = 0 при x = 0.
2. V(x) ? 0 (либо V(x) ? 0) при x ? 0.

Определение 4. Если в области (3.1) функция V(x) может принимать значения только одного знака и обращается в нуль только при x = 0, то она называется знакоопределенной (положительно-определенной или отрицательно-определенной), т.е.
1. V(0) = 0 при x = 0.
2. V(x) > 0 (либо V(x) < 0) при x ? 0.

Пример 3.

V₁ = x₁² + x₂² положительно-определенная функция,
V₂ = (x₁ ? x₂)² постоянно-положительная функция, V₃ = x₁² ? x₂² знакопеременная функция, V₄(x₁, x₂) = x₁² постоянно-положительная функция.

Задачи 3. Используя определения 2-4, исследовать свойства следующих функций:
1) V (x₁, x₂) = 4 x₁ + 2 x₂ + x₁² + x₁²,
2) V (x₁, x₂) = x₁² + x₂² ? x₁³,
3) V (x₁, x₂) = x₁⁴ + x₂⁴ ? x₂⁵,
4) V (x₁, x₂) = ? x₁² ? 2x₂² + 5x₁³,
5) V (x₁, x₂) = 3x₁² + x₂² ? x₁³,
6) V (x₁, x₂) = x₁³ +4 x₂³+ x₂⁴.
7) V (x₁, x₂) = 3 x₁ + x₂² + 2x₁² + x₁³,
8) V (x₁, x₂) = x₁² + 4 x₁x₂+ 4x₂²,
9) V (x₁, x₂, x₃) = (2x₁ + x₂)²+ (x₂ ? x₃)²,
10) V(x₁, x₂, x₃) = (x₁ ? x₂)² + (x₂ + x₃)² + 3x₃².

Замечания 1.

1° Знакоопределенная (положительно-определенная и отрицательно-определенная) функция имеет в нуле изолированный экстремум (изолированный минимум или изолированный максимум).

2° Знакопостоянная (постоянно-положительная и постоянно-отрицательная) функция имеет в нуле неизолированный экстремум (неизолированный минимум или неизолированный максимум), поскольку в любой окрестности нуля найдутся другие точки, в которых функция имеет минимум или максимум.

1. Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра
2. Метод Четаева построения функции Ляпунова (второй метод Ляпунова)
3. Геометрические свойства знакоопределенной функции Ляпунова
4. Класс самодвойственных функций и его замкнутость относительно суперпозиции. Критерий самодвойственности. Лемма о несамодвойственной функции.
5. Лемма о немонотонной функции. Критерий монотонности по сокращенной ДНФ
6. Лемма о немонотонной функции. Критерий монотонности по сокращенной ДНФ
7. Особенности определения устойчивости по Ляпунову
8. Поиск минимума унимодальной функции путем сокращения интервала неопределенности
9. Двойственные функции. Теорема о суперпозиции двойственных функций. Принцип двойственности
10. Повышение эффективности унимодального поиска за счет дополнительной информации о минимизируемой функции
11. Производящие функции для комбинаторных конфигураций и их числа
12. Определение ?(?) – функций, кусочно-линейной функции
13. Функции и переменные в GPSS
14. Геометрическая интерпретация уравнений возмущенного движения
15. Математические модели принятия решений
16. Неустойчивости по Ляпунову и асимптотическая устойчивость по Ляпунову
17. Второй метод Ляпунова. Введение