Неустойчивости по Ляпунову и асимптотическая устойчивость по Ляпунову

Определение (неустойчивости по Ляпунову) Невозмущенное движение qp = ξ(t), qp(t) системы (1.1) называется неустойчивым по Ляпунову относительно величин q, q, если существуют числа ε10, ε20 > 0 такие, что для любых чисел δ1, δ2 > 0 существует решение q(t), q(t) уравнений (1.1) и момент времени t1 > t0 такие, что,

хотя ||q(t0) — ξ0|| < δ1, ||q(t0) — ξ0|| < δ2, тем не менее ||q(t1) — ξ(t1)|| > ε10, ||q(t1) — ξ(t1)|| > ε20.

Геометрическая интерпретация определения неустойчивости по Ляпунову в фазовом пространстве q1,…, qn , q1,…, qn

На рис.1.3 представлена геометрическая интерпретация определения устойчивости по Ляпунову на фазовой плоскости q, q для случая системы с одной степенью свободы (n=1). Начав в начальный момент времени t=t0 движение из точки М0(q(t0), q(t0)), лежащей в Bδ-окрестности начальной точки ξ0, ξ0 невозмущенного движения ξ(t), ξ(t), где Bδ:
|q(t0) — ξ0|< δ1, |q(t0) — ξ0| < δ2, изображающая точка М через конечный интервал времени при t= t1 выйдет из Bε — окрестности данного невозмущенного движения, где Bε: |q(t) — ξ(t)| < ε1,
|q(t) — ξ(t)| < ε2.



Рис.1.3 Геометрическая интерпретация определения неустойчивости по Ляпунову на фазовой плоскости

Определение (асимптотической устойчивости по Ляпунову): Невозмущенное движение p=ξ(t), qp(t) системы (1.1) называется асимптотически устойчивым по Ляпунову относительно величин q, q, если
а) оно устойчиво;
б) если существуют такие числа Δ1, Δ2 > 0, что для любых q(t0), q(t0), удовлетворяющих неравенствам
||q(t0) — ξ0|| < Δ1, ||q(t0) — ξ0|| < Δ2, выполняются условия
q(t) → ξ(t), q(t) → ξ(t) при t → ∞. (1.9)

Геометрическая интерпретация определения асимптотической устойчивости по Ляпунову в фазовом пространстве q1,…, qn , q1,…, qn

На рис.1.4 представлена геометрическая интерпретация асимптотической определения устойчивости по Ляпунову на фазовой плоскости q, q для случая системы с
одной степенью свободы (n=1). Начав при t=t0 движение из точки М0(q(t0), q(t0)), лежащей в Bδ-окрестности начальной точки ξ0, ξ0 невозмущенного движения ξ(t), ξ(t), где Bδ: | q(t0) — ξ0| < δ1, |q(t0) — ξ0| < δ2, изображающая точка М в случае асимптотической устойчивости невозмущенного движения ξ(t), ξ(t) при t ≥ t0 не выйдет из Bε-окрестности данного невозмущенного движения, где Bε: |q(t) — ξ(t)|< ε1, |q(t) — ξ(t)| < ε2 и при t → ∞ будет неограниченно приближается к нему.



Рис.1.4 Геометрическая интерпретация определения асимптотической устойчивости по Ляпунову на фазовой плоскости


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru