Образовательный блог – всё для учебы

Для того, чтобы применять приведенные выше теоремы об устойчивости, необходимо каким-то образом найти или построить функцию Ляпунова V.
Н.Г.Четаев предложил способ построения функции Ляпунова V в виде связки интегралов уравнений движения.

Определение 3.6. Функция V = V(x) называется первым интегралом уравнений движения (3.5.1)
dx/dt = F(x), F(0) = 0, x (t₀) = x₀. (3.5.1)
если полная производная по времени от функции V(x), вычисленная в силу этих уравнений,
тождественно равна нулю, т.е.
V|_(1.18) = dV/dt|_1.18 = ?V/?x₁ dx₁/dt + … + ?V/?x_N dx_N/dt|_1.18 = ?V/?x₁ F₁ + … + ?V/?x_N F_N ? 0. (3.8)

Из выражения (3.8) следует, что V = V (x₁, …, x_N)|_(3.5.1) = const.

Примеры интегралов уравнений движения, найденных с помощью теорем механики
1. Если на механическую систему действуют только консервативные силы, то полная энергия системы сохраняется вовсе время движения. В этом случае имеет место интеграл полной энергии системы
Т+П = h = const. (3.9)
2. Если силы, действующие на механическую систему, не дают момента относительно какой-либо неподвижной прямой (обозначим ее ось x), то проекция момента количества движения системы (или кинетического момента) G = ?[r_k, m_kv_k] (m – масса k-й точки системы; r_k,v_k
– радиус-вектор и скорость k-й точки системы) на эту прямую сохраняется. В этом случае мы имеем интеграл проекции кинетического момента на ось x:
G_x = const. (3.10)
3. Если силы, действующие на механическую систему, не дают момента относительно любой неподвижной прямой (например, в случае отсутствия сил), то вектор кинетического момента G сохраняется. В этом случае мы имеем векторный интеграл кинетического момента G = const.
В скалярном виде этот интеграл иногда удобно записывать так U = G² = const. (3.11)
4. Если силы, действующие на механическую систему, не дают проекции на какую-либо неподвижную прямую (обозначим ее ось x), то проекция количества движения системы Qx = mv_cx (m – масса всей системы, v_cx – проекция на ось x скорости центра масс системы) на эту прямую сохраняется. В этом случае мы имеем интеграл проекции количества движения mv_cx= const.
Можно выписать также и другие интегралы уравнений движения систем (ниже смотри конкретные примеры).

Если уравнения движения системы имеют один, не зависящий от времени, первый интеграл, например, интеграл полной энергии (3.9)
U = Т+П = const, (3.12)
то для исследования устойчивости невозмущенного движения x=0 можно выбрать функцию Ляпунова в виде
V = U(x) ? U(0) = const. (3.13)
Если данная функция Ляпунова будет удовлетворять требованиям теоремы Ляпунова об устойчивости, то невозмущенное движение x=0 будет устойчиво относительно переменных x₁, …, x_N.
Если уравнения движения системы имеют несколько не зависящих от времени первых интегралов
U₁ (x) = c₁ = const, U₂ (x) = c₂ = const, … , U_k (x) = c_k = const, (3.14)
где x = (x₁, …, x_N)^T, то функцию Ляпунова можно построить в виде суммы первых интегралов (3.14).
Обозначим значения интегралов (3.14) на невозмущенном движении x=0 следующим образом
U₁ (0) = c₁₀ = const, U₂ (0) = c₂₀ = const, … , U_k (0) = c_k0 = const. (3.15)

1. Второй метод Ляпунова. Введение
2. Геометрические свойства знакоопределенной функции Ляпунова
3. Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра
4. Определения функции Ляпунова и критерий Сильвестра
5. Теорема об устойчивости. Теорема об неустойчивости
6. Построения функционально-структурной модели
7. Теоремы об устойчивости по первому приближению
8. Примеры критериев Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара
9. Геометрическая интерпретация уравнений возмущенного движения
10. Уравнения возмущенного движения
11. Корреляционный метод идентификации
12. Постановка задачи об устойчивости движения. Определение устойчивости по Ляпунову
13. Общие представления об устойчивости движения
14. Метод Фибоначчи
15. Критерии Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара
16. Уравнения первого приближению
17. Особенности построения моделей дискретных процессов на языке GPSS