Метод Четаева построения функции Ляпунова (второй метод Ляпунова)

Для того, чтобы применять приведенные выше теоремы об устойчивости, необходимо каким-то образом найти или построить функцию Ляпунова V.
Н.Г.Четаев предложил способ построения функции Ляпунова V в виде связки интегралов уравнений движения.

Определение 3.6. Функция V = V(x) называется первым интегралом уравнений движения (3.5.1)

dx/dt = F(x), F(0) = 0, x (t0) = x0. (3.5.1)

если полная производная по времени от функции V(x), вычисленная в силу этих уравнений,
тождественно равна нулю, т.е.
V|(1.18) = dV/dt|1.18 = ∂V/∂x1 dx1/dt + … + ∂V/∂xN dxN/dt|1.18 = ∂V/∂x1 F1 + … + ∂V/∂xN FN ≡ 0. (3.8)

Из выражения (3.8) следует, что V = V (x1, …, xN)|(3.5.1) = const.

Примеры интегралов уравнений движения, найденных с помощью теорем механики
1. Если на механическую систему действуют только консервативные силы, то полная энергия системы сохраняется вовсе время движения. В этом случае имеет место интеграл полной энергии системы
Т+П = h = const. (3.9)

2. Если силы, действующие на механическую систему, не дают момента относительно какой-либо неподвижной прямой (обозначим ее ось x), то проекция момента количества движения системы (или кинетического момента) G = ∑[rk, mkvk] (m – масса k-й точки системы; rk,vk
– радиус-вектор и скорость k-й точки системы) на эту прямую сохраняется. В этом случае мы имеем интеграл проекции кинетического момента на ось x:
Gx = const. (3.10)

3. Если силы, действующие на механическую систему, не дают момента относительно любой неподвижной прямой (например, в случае отсутствия сил), то вектор кинетического момента G сохраняется. В этом случае мы имеем векторный интеграл кинетического момента G = const.

В скалярном виде этот интеграл иногда удобно записывать так U = G2 = const. (3.11)

4. Если силы, действующие на механическую систему, не дают проекции на какую-либо неподвижную прямую (обозначим ее ось x), то проекция количества движения системы Qx = mvcx (m – масса всей системы, vcx – проекция на ось x скорости центра масс системы) на эту прямую сохраняется. В этом случае мы имеем интеграл проекции количества движения mvcx= const.

Можно выписать также и другие интегралы уравнений движения систем (ниже смотри конкретные примеры).

Если уравнения движения системы имеют один, не зависящий от времени, первый интеграл, например, интеграл полной энергии (3.9)

U = Т+П = const, (3.12)

то для исследования устойчивости невозмущенного движения x=0 можно выбрать функцию Ляпунова в виде

V = U(x) — U(0) = const (3.13)

Если данная функция Ляпунова будет удовлетворять требованиям теоремы Ляпунова об устойчивости, то невозмущенное движение x=0 будет устойчиво относительно переменных x1, …, xN.

Если уравнения движения системы имеют несколько не зависящих от времени первых интегралов
U1 (x) = c1 = const, U2 (x) = c2 = const, … , Uk (x) = ck = const, (3.14)
где x = (x1, …, xN)T, то функцию Ляпунова можно построить в виде суммы первых интегралов (3.14).
Обозначим значения интегралов (3.14) на невозмущенном движении x=0 следующим образом
U1 (0) = c10 = const, U2 (0) = c20 = const, … , Uk (0) = ck0 = const. (3.15)


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru