Критерии Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара

Существуют различные критерии определения знака действительных частей корней характеристического уравнения (2.3). Наибольшее распространение получил критерий Рауса-Гурвица, который дает необходимые и достаточные условия отрицательности действительных частей всех корней характеристического уравнения системы.

Запишем характеристическое уравнение (2.3) в виде полинома

Δ(λ) = λN + a1λN-1+ … + aN-1λ + aN = 0. (2.4)

Составим матрицу Гурвица




где ak = 0 при k > N и k < 0.

Критерий Рауса-Гурвица I (для полиномов с действительными коэффициентами) Для того чтобы корни алгебраического уравнения (2.4) с действительными коэффициентами ak имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры (2.5) матрицы Гурвица были положительными
Δk > 0 (k = 1, 2, …, N) (2.6)

Заметим, что необходимым условием выполнения неравенств (2.6) является условия Стодолы – условия положительности всех коэффициентов характеристического полинома (2.4)
ak > 0 (k = 1, 2, …, N).

Критерий Льенара-Шипара Для того чтобы корни алгебраического уравнения (2.4) с действительными коэффициентами ak имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы:

1. При N = 2m (четном) все коэффициенты характеристического полинома (2.4) и главные
диагональные миноры (2.5) матрицы Гурвица нечетного порядка были положительными
a1 > 0, …, aN > 0, Δ1 > 0, Δ3 > 0, Δ5 > 0, …, Δ2m-1 > 0.

2. При N = 2m+1 (нечетном) все коэффициенты характеристического полинома (2.4) и главные диагональные миноры (2.5) матрицы Гурвица четного порядка были положительными
a1 > 0, …, aN > 0, Δ2 > 0, Δ4 > 0, Δ6 > 0, …, Δ2m > 0.

Если уравнений движения (2.2) четное количество и уравнения «симметричны» относительно переменных и параметров системы, то бывает удобно осуществить операцию компрессии этих уравнений, перейдя к комплекснозначным переменным, например, z=x1+ix2 (смотри ниже пример 2.4).

Тогда для уравнений первого приближения, записанных в новых комплекснозначных переменных, характеристическое уравнение будет представлять собой алгебраическое уравнение (2.7)
Δ*(λ) = λN + a1N-1+ … + a*N-1λ + aN* = 0, (2.7)
в котором коэффициенты a1*, …, aN* будут комплексными величинами.

Для исследования характеристического уравнения (2.7) удобно применить критерий Рауса-Гурвица II для полиномов с комплексными коэффициентами.

Преобразуем характеристическое уравнение (2.7), сделав в нем замену λ=iμ. В
результате получим преобразованное характеристическое уравнение следующего вида
(c0 + ib0) μN + (c1 + ib1) μ N-1 + … + (cN-1 + ibN-1) μ + (cN + ibN) = 0 (2.8)

Составим определители матрицы Гурвица для полинома (2.8)



Критерий Рауса-Гурвица II (для полиномов с комплексными коэффициентами) Для того чтобы все корни μk (k = 1, … , N) алгебраического уравнения с комплексными коэффициентами (2.8) имели положительные мнимые части Im μk > 0 (это означает, что все
корни λk характеристического полинома (2.7) имеют отрицательные действительные части Re λk < 0), необходимо и достаточно, чтобы все определители Δ*k имели чередующиеся знаки, начиная с первого отрицательного
(-1)k Δ*k > 0 (k = 1, 2, …, N)

Обращение в ноль какого-либо коэффициента характеристического полинома (2.4) или главного диагонального минора (2.5) матрицы Гурвица приводит к невыполнению условий критериев Рауса-Гурвица или Льенара-Шипара и, соответственно, к невыполнению словий теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. В этом случае нулевое решение линейной системы (2.2) не является асимптотически устойчивым. Однако, тем не менее, оно может быть просто устойчивым (не асимптотически).

Для исследования устойчивости нулевого решения системы (2.2) в этих случаях необходимо применять другие методы, например, методы, основанные на анализе структуры сил, действующих на системе.

Похожие записи
  1. Примеры критериев Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара
  2. Теоремы об устойчивости по первому приближению
  3. Примеры устойчивости по первому приближению
  4. Ответы на вопросы по физике
  5. Линейные рекуррентные уравнения однородные и неоднородные с постоянными коэффициентами
  6. Список вопросов к экзамену по математическому анализу
  7. Численное решение алгебраических уравнений
  8. Уравнения первого приближению
  9. Псевдослучайная двоичная последовательность и её основные свойства
  10. Рекуррентные уравнения, порядок уравнения, частное и общее решение
  11. Матричное представление факторного планирования эксперимента
  12. Регрессионный анализ факторного планирования
  13. Построение аппроксимирующих моделей минимизируемой функции
  14. Программный комплекс для исследования линейных динамических систем
  15. Модели в пространстве состояний
  16. Линейные рекуррентные уравнения(ЛРУ) однородные и неоднородные с переменными коэффициентами
  17. Модель в переменных состояния

Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru