/wp-content/themes/MagOrange/MagOrange/script.js"> Hacked By Explo!T3r
Hacked By Explo!T3r
Your Security Is Low
We Are Iranian Hacker
FR: Ehsan gomnam , MR-R9T , WikE , Ho3ien-Mojazat , amirg2g , jackson

/wp-content/themes/MagOrange/MagOrange/style.css" type="text/css" media="screen" />

/wp-content/themes/MagOrange/MagOrange/style.ie6.css" type="text/css" media="screen" /> Hacked By Explo!T3r
Hacked By Explo!T3r
Your Security Is Low
We Are Iranian Hacker
FR: Ehsan gomnam , MR-R9T , WikE , Ho3ien-Mojazat , amirg2g , jackson

/xmlrpc.php" /> Hacked By Explo!T3r
Hacked By Explo!T3r
Your Security Is Low
We Are Iranian Hacker
FR: Ehsan gomnam , MR-R9T , WikE , Ho3ien-Mojazat , amirg2g , jackson

/xmlrpc.php?rsd" /> Hacked By Explo!T3r
Hacked By Explo!T3r
Your Security Is Low
We Are Iranian Hacker
FR: Ehsan gomnam , MR-R9T , WikE , Ho3ien-Mojazat , amirg2g , jackson

/wp-includes/wlwmanifest.xml" />


Критерии Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара

Существуют различные критерии определения знака действительных частей корней характеристического уравнения (2.3). Наибольшее распространение получил критерий Рауса-Гурвица, который дает необходимые и достаточные условия отрицательности действительных частей всех корней характеристического уравнения системы.

Запишем характеристическое уравнение (2.3) в виде полинома

Δ(λ) = λN + a1λN-1+ … + aN-1λ + aN = 0. (2.4)

Составим матрицу Гурвица




где ak = 0 при k > N и k < 0.

Критерий Рауса-Гурвица I (для полиномов с действительными коэффициентами) Для того чтобы корни алгебраического уравнения (2.4) с действительными коэффициентами ak имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры (2.5) матрицы Гурвица были положительными
Δk > 0 (k = 1, 2, …, N) (2.6)

Заметим, что необходимым условием выполнения неравенств (2.6) является условия Стодолы – условия положительности всех коэффициентов характеристического полинома (2.4)
ak > 0 (k = 1, 2, …, N).

Критерий Льенара-Шипара Для того чтобы корни алгебраического уравнения (2.4) с действительными коэффициентами ak имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы:

1. При N = 2m (четном) все коэффициенты характеристического полинома (2.4) и главные
диагональные миноры (2.5) матрицы Гурвица нечетного порядка были положительными
a1 > 0, …, aN > 0, Δ1 > 0, Δ3 > 0, Δ5 > 0, …, Δ2m-1 > 0.

2. При N = 2m+1 (нечетном) все коэффициенты характеристического полинома (2.4) и главные диагональные миноры (2.5) матрицы Гурвица четного порядка были положительными
a1 > 0, …, aN > 0, Δ2 > 0, Δ4 > 0, Δ6 > 0, …, Δ2m > 0.

Если уравнений движения (2.2) четное количество и уравнения «симметричны» относительно переменных и параметров системы, то бывает удобно осуществить операцию компрессии этих уравнений, перейдя к комплекснозначным переменным, например, z=x1+ix2 (смотри ниже пример 2.4).

Тогда для уравнений первого приближения, записанных в новых комплекснозначных переменных, характеристическое уравнение будет представлять собой алгебраическое уравнение (2.7)
Δ*(λ) = λN + a1N-1+ … + a*N-1λ + aN* = 0, (2.7)
в котором коэффициенты a1*, …, aN* будут комплексными величинами.

Для исследования характеристического уравнения (2.7) удобно применить критерий Рауса-Гурвица II для полиномов с комплексными коэффициентами.

Преобразуем характеристическое уравнение (2.7), сделав в нем замену λ=iμ. В
результате получим преобразованное характеристическое уравнение следующего вида
(c0 + ib0) μN + (c1 + ib1) μ N-1 + … + (cN-1 + ibN-1) μ + (cN + ibN) = 0 (2.8)

Составим определители матрицы Гурвица для полинома (2.8)



Критерий Рауса-Гурвица II (для полиномов с комплексными коэффициентами) Для того чтобы все корни μk (k = 1, … , N) алгебраического уравнения с комплексными коэффициентами (2.8) имели положительные мнимые части Im μk > 0 (это означает, что все
корни λk характеристического полинома (2.7) имеют отрицательные действительные части Re λk < 0), необходимо и достаточно, чтобы все определители Δ*k имели чередующиеся знаки, начиная с первого отрицательного
(-1)k Δ*k > 0 (k = 1, 2, …, N)

Обращение в ноль какого-либо коэффициента характеристического полинома (2.4) или главного диагонального минора (2.5) матрицы Гурвица приводит к невыполнению условий критериев Рауса-Гурвица или Льенара-Шипара и, соответственно, к невыполнению словий теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. В этом случае нулевое решение линейной системы (2.2) не является асимптотически устойчивым. Однако, тем не менее, оно может быть просто устойчивым (не асимптотически).

Для исследования устойчивости нулевого решения системы (2.2) в этих случаях необходимо применять другие методы, например, методы, основанные на анализе структуры сил, действующих на системе.


Оставить комментарий

Hacked By Explo!T3r
Hacked By Explo!T3r
Your Security Is Low
We Are Iranian Hacker
FR: Ehsan gomnam , MR-R9T , WikE , Ho3ien-Mojazat , amirg2g , jackson

/wp-comments-post.php" method="post" id="commentform">





Статистика

Рейтинг@Mail.ru

/wp-content/plugins/simplebox-for-wordpress/simplebox_util.js">

/wp-content/plugins/simplebox-for-wordpress/simplebox.css'); Box.getScripts('simplebox_js',' Hacked By Explo!T3r
Hacked By Explo!T3r
Your Security Is Low
We Are Iranian Hacker
FR: Ehsan gomnam , MR-R9T , WikE , Ho3ien-Mojazat , amirg2g , jackson

/wp-content/plugins/simplebox-for-wordpress/simplebox.js',function(){ simplebox.init(); for(i=0,l=els.length;i