Геометрические свойства знакоопределенной функции Ляпунова

Геометрические свойства знакоопределенной функции Ляпунова V(x)

1. Если функция V(x) знакоопределенная, то поверхность V(x1, …, xn)=c=const в пространстве (x1, …, xn) является замкнутой поверхностью (рис.3.1).

Если функция V(x) знакопостоянная или знакопеременная, то поверхность V = c =const разомкнутая.



Рис.3.1 Поверхность V(x1, …, xn)=c=const для знакоопределенной функции V

2. Если функция V(x) знакоопределенная и |c2| > |c1|, то поверхность V = c2 лежит снаружи поверхности V = c1 и поверхности не имеют общих точек (рис.3.2).



Рис.3.2 Взаимное расположение поверхностей V = c1, V = c2 при c2 > c1 для знакоопределенной функции V

3. Поскольку вектор grad V направлен по нормали к поверхности V(x)=c в сторону возрастания функции V (рис.3.3). Тогда для положительно-определенной функции V вектор grad V направлен во внешнюю часть замкнутой поверхности V = c, а для отрицательно-определенной функции V — во внутреннюю часть замкнутой поверхности V = c.



Рис.3.3 Взаимное расположение поверхностей V = c1, V = c2 при c2 > c1
для знакоопределенных функций V

4. Если функция V положительно-определенная, то при достаточно малых значениях c изображающая точка М с координатами (x1, …, xn) при перемещении в сторону возрастания функции V(x1, …, xn) пересекает поверхность V=c изнутри наружу (и наоборот). Если функция V отрицательно-определенная, то при достаточно малых значениях c изображающая точка М с координатами (x1, …, xn) при перемещении в сторону возрастания функции V(x1, …, xn) пересекает поверхность V=c снаружи внутрь.


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru