Образовательный блог – всё для учебы

Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид
dx/dt = F(x), F(0) = 0, x (t₀) = x₀. (3.5.1)

Определение 5. Производной dV/dt функции V(x) = V(x₁, x₂, …, x_N) в силу уравнений возмущенного движения (1.18) называется ее полная производная по времени, вычисленная в
предположении, что величины x₁, x₂, …, x_N удовлетворяют уравнениям (1.18), т.е.

V ^•|_(3.5.1) = dV/dt | _(3.5.1) = (?V/?x₁dx₁/dt + … + ?V/?x_Ndx_N/dt) (3.5.1) (3.5)

Геометрическая интерпретация уравнений возмущенного движения (1.18)

Уравнения (3.5.1) описывают движение изображающей точки М с координатами x₁,…, x_N вдоль некоторой траектории ? в соответствии с уравнениями

dx/dt = U, (3.6)

где x=(x₁,…, x_N), U=(F₁, F₂,…, F_N)^T представляет собой скорость движения изображающей точки М, которая направлена по касательной к траектории ? (рис.3.4).

Рис.3.4 Геометрическая интерпретация уравнений возмущенного движения

Замечание 5. В соответствии с (3.6) производную (3.5) можно записать в виде скалярного
произведения двух векторов

V^• | _(3.5.1) = (U, grad V) = |U| |grad V| cos(U, grad V). (3.7)

Из (3.7) следует, что информация о знаке производной функции V(x) может характеризовать движение изображающей точки М системы (3.6).

Действительно, пусть функция V(x) является положительно-определенной, тогда вектор grad V направлен по нормали к поверхности V = c в сторону возрастания функции V, т.е. во внешнюю часть поверхности V = c (рис.3.5-3.7).

Тогда из анализа знака производной положительно-определенной функции V в соответствии с выражением (3.7) будем иметь:

1? Если V ^• > 0, то изображающая точка М, начав движение на поверхности V = c, будет выходить наружу этой поверхности, так как угол ? между касательной U к траектории ?
точки М и вектором градиента grad V ? острый (cos ? = cos(U,gradV) > 0) (рис.3.5).

Рис.3.5 Случай cos ? = cos(U,gradV) > 0

2? Если V • = 0, то изображающая точка М, начав движение на поверхности V = c, будет двигаться по касательной к этой поверхности, поскольку cos ? = 0 (угол ? прямой) (рис.3.6).

Рис.3.6 Случай cos ? = cos(U,gradV) = 0

3? Если V • < 0, то изображающая точка М, начав движение на поверхности V = c, будет входить внутрь этой поверхности, поскольку cos ? = cos(U,gradV) < 0 (угол ? ? тупой)
(рис.3.7).

Рис.3.7 Случай cos ? = cos(U,gradV) < 0

Следующие теоремы Ляпунова дают достаточные условия устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения относительно величин x₁, x₂, …, x_N.

1. Уравнения возмущенного движения
2. Постановка задачи об устойчивости движения. Определение устойчивости по Ляпунову
3. Общие представления об устойчивости движения
4. Теорема об устойчивости. Теорема об неустойчивости
5. Неустойчивости по Ляпунову и асимптотическая устойчивость по Ляпунову
6. Особенности определения устойчивости по Ляпунову
7. Асимптотической устойчивости по Ляпунову. Неустойчивости по Ляпунову
8. Геометрические свойства знакоопределенной функции Ляпунова
9. Нормальная форма записи уравнений состояния
10. Каноническая форма уравнений состояния
11. Скорость движения электрона
12. Уравнения первого приближению
13. Метод Четаева построения функции Ляпунова (второй метод Ляпунова)
14. Второй метод Ляпунова. Введение
15. Примеры устойчивости по первому приближению