Образовательный блог – всё для учебы

Рассмотрим однозначную функцию V(x) = V(x₁, …, x_N), определенную в области
||x (t)|| < ?, (3.1)
обращающуюся в нуль V(0) = 0 при x = 0 и обладающую непрерывными первыми частными
производными по x₁, …, x_N.
Функции V(x), определенные таким образом, используются для исследования устойчивости и называются функциями Ляпунова.

Необходимые условия экстремума функции

Известно, что необходимыми условиями существования экстремума функции V(x) = V(x₁, …, x_N) в точке x₁ = 0, …, x_N = 0, является обращение в нуль всех частных производных функции
V(x₁, …, x_N) по переменным x₁, …, x_N в этой точке
V = 0, (3.2)
где индекс (0) означает, что производные берутся в начале координат (при x=0).

К точкам экстремума (локального экстремума) функции V(x) относятся точки локального минимума и точки локального максимума. Функция V(x) в точке x=0 может
иметь точку перегиба. Точки перегиба и точки локального экстремума принято называть также критическими точками функции.

Пример 1. Точка x₁ = x₂ = 0 является точкой экстремума для функций V₁ = x₁² + x₂²,
V₂ = (x₁ ? x₂)². Точка x₁ = x₂ = 0 для функции V₃ = x₁² ? x₂² является точкой перегиба. Но точка
x₁ = x₂ = 0 не является точкой экстремума для функции V₄(x₁, x₂) = 4 x₁ + 2 x₂ + 2x₁² + x₂². Для
этой функции точкой экстремума является точка x₁ = ?1, x₂ = ?1.

1. Определения функции Ляпунова и критерий Сильвестра
2. Геометрические свойства знакоопределенной функции Ляпунова
3. Метод Четаева построения функции Ляпунова (второй метод Ляпунова)
4. Лемма о немонотонной функции. Критерий монотонности по сокращенной ДНФ
5. Лемма о немонотонной функции. Критерий монотонности по сокращенной ДНФ
6. Класс самодвойственных функций и его замкнутость относительно суперпозиции. Критерий самодвойственности. Лемма о несамодвойственной функции.
7. Условия оптимальности для некоторых классов моделей принятия решений
8. Повышение эффективности унимодального поиска за счет дополнительной информации о минимизируемой функции
9. Поиск минимума унимодальной функции путем сокращения интервала неопределенности
10. Геометрическая интерпретация уравнений возмущенного движения
11. Второй метод Ляпунова. Введение
12. Многомерный случай для задач безусловной минимизации
13. Функции и переменные в GPSS
14. Упорядочение векторных критериев оптимальности при помощи обобщенной функции цели
15. Теорема об устойчивости. Теорема об неустойчивости