Определение 3.6. Функция V = V(x) называется первым интегралом уравнений движения (3.5.1)
dx/dt = F(x), F(0) = 0, x (t₀) = x₀. (3.5.1)
если полная производная по времени от функции V(x), вычисленная в силу этих уравнений,
тождественно равна нулю, т.е.
V|_(1.18) = dV/dt|_1.18 = ?V/?x₁ dx₁/dt + … + ?V/?x_N dx_N/dt|_1.18 = ?V/?x₁ F₁ + … + ?V/?x_N F_N ? 0. (3.8)

Из выражения (3.8) следует, что V = V (x₁, …, x_N)|_(3.5.1) = const.

Примеры интегралов уравнений движения, найденных с помощью теорем механики
1. Если на механическую систему действуют только консервативные силы, то полная энергия системы сохраняется вовсе время движения. В этом случае имеет место интеграл полной энергии системы
Т+П = h = const. (3.9)
2. Если силы, действующие на механическую систему, не дают момента относительно какой-либо неподвижной прямой (обозначим ее ось x), то проекция момента количества движения системы (или кинетического момента) G = ?[r_k, m_kv_k] (m – масса k-й точки системы; r_k,v_k
– радиус-вектор и скорость k-й точки системы) на эту прямую сохраняется. В этом случае мы имеем интеграл проекции кинетического момента на ось x:
G_x = const. (3.10)
3. Если силы, действующие на механическую систему, не дают момента относительно любой неподвижной прямой (например, в случае отсутствия сил), то вектор кинетического момента G сохраняется. В этом случае мы имеем векторный интеграл кинетического момента G = const.
В скалярном виде этот интеграл иногда удобно записывать так U = G² = const. (3.11)
4. Если силы, действующие на механическую систему, не дают проекции на какую-либо неподвижную прямую (обозначим ее ось x), то проекция количества движения системы Qx = mv_cx (m – масса всей системы, v_cx – проекция на ось x скорости центра масс системы) на эту прямую сохраняется. В этом случае мы имеем интеграл проекции количества движения mv_cx= const.
Можно выписать также и другие интегралы уравнений движения систем (ниже смотри конкретные примеры).

Если уравнения движения системы имеют один, не зависящий от времени, первый интеграл, например, интеграл полной энергии (3.9)
U = Т+П = const, (3.12)
то для исследования устойчивости невозмущенного движения x=0 можно выбрать функцию Ляпунова в виде
V = U(x) ? U(0) = const. (3.13)
Если данная функция Ляпунова будет удовлетворять требованиям теоремы Ляпунова об устойчивости, то невозмущенное движение x=0 будет устойчиво относительно переменных x₁, …, x_N.
Если уравнения движения системы имеют несколько не зависящих от времени первых интегралов
U₁ (x) = c₁ = const, U₂ (x) = c₂ = const, … , U_k (x) = c_k = const, (3.14)
где x = (x₁, …, x_N)^T, то функцию Ляпунова можно построить в виде суммы первых интегралов (3.14).
Обозначим значения интегралов (3.14) на невозмущенном движении x=0 следующим образом
U₁ (0) = c₁₀ = const, U₂ (0) = c₂₀ = const, … , U_k (0) = c_k0 = const. (3.15)

Геометрическая интерпретация теоремы 1. Пусть для определенности найдена положительно-определенная функция V(x), производная которой в силу уравнений (1.18)
либо V^•(x) постоянно-отрицательная, либо V(x)?0 тождественно равна нулю (если V(x) отрицательно-определенная функция, то можно взять функцию (?V), которая будет
положительно-определенной функцией).

Покажем, что изображающая точка М, начав движение в сфере B_?, никогда не выйдет на сферу B_?.

В окрестности начала координат возьмем сферу (рис.3.8)
B_?: ?x_i²=?²,
а внутри нее поверхность V = c. По заданному числу ? выберем число ? так, чтобы сфера
B?: ?x_i²=?²
лежала внутри поверхности V = c и не имела с ней общих точек.
Пусть изображающая точка М начала движение при t = t₀ из точки М₀(x₀), лежащей
внутри сферы B_?.
Выберем поверхность V = c₀, которая проходит через начальную точку М₀. Поскольку точка М₀ лежит внутри поверхности B_? (и, естественно, внутри поверхности V = c), то c₀< c и
поверхность V = c₀ лежит внутри поверхности V = c.

При своем дальнейшем движении при t > t₀ точка М будет либо входить внутрь поверхности V = c₀ в случае V^• < 0, так как cos ? < 0, либо будет находиться на ней в случае V^• = 0, так как cos ? = 0. Во внешнюю часть поверхности V = c₀, т.е. вне сферы B_?, точка М не сможет перейти.

Следовательно, невозмущенное движение системы (1.18) устойчиво по Ляпунову относительно величин x₁, x₂, …, x_N.

Рис.3.8 Геометрическая интерпретация теоремы Ляпунова об устойчивости

Пример 1. Исследовать устойчивость нулевого решения системы
x^• = ? x + 3y², y^• = ? 3xy,
В качестве функции Ляпунова взять V = x² + y².

Пример 2. Исследовать устойчивость нулевого решения системы x^• = ? x + 3y², y^• = ? xy ? y³,
В качестве функции Ляпунова взять V = x² + y².

Теорема 2. (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости) Если для уравнений возмущенного движения (1.18) можно найти знакоопределенную функцию V, производная V^•, которой в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного знака с V, то невозмущенное движение x = 0 асимптотически устойчиво относительно величин x₁, x₂, …, x_N.

Геометрическая интерпретация теоремы 2.
В этом случае изображающая точка М, начавшая движение при t = t₀ на поверхности V = c₀ при t > t₀ войдет внутрь этой поверхности. Далее она будет пересекать все поверхности V = c_k (k=1,2,…,m,…), где 0<...k<...< c₂10 (лежащие внутри поверхности V = c₀), снаружи внутрь так, что при t??
точка М будет стремиться к началу координат (к невозмущенному движению x = 0).
Следовательно, невозмущенное движение системы (1.18) асимптотически устойчиво по Ляпунову относительно величин x₁, x₂, …, x_N.

Пример 3. Исследовать устойчивость нулевого решения системы x^• = ? x + 3y², y^• = ? 3xy ? y,
В качестве функции Ляпунова взять V = x² + y².

Пример 4. Исследовать устойчивость нулевого решения системы x^• = ? x + 3y², y^• = ? 3xy ? y³.
В качестве функции Ляпунова взять V = x² + y².

Теорема 3. (теорема Ляпунова о неустойчивости) Если для уравнений возмущенного движения (1.18) можно найти функцию V такую, что ее производная V^• в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией, а сама функция V могла бы принимать в окрестности x = 0 значения одного знака со своей производной V^•, то невозмущенное движение x = 0 неустойчиво относительно величин x₁, x₂, …, x_N.

Обобщением теоремы Ляпунова о неустойчивости является следующая теорема.

Теорема 4. (теорема Четаева о неустойчивости) Если для уравнений возмущенного движения (1.18) можно найти функцию V такую, что в сколь угодно малой окрестности x = 0
существует область V > 0, и если производная V^• в силу этих уравнений положительна во всех точках области V > 0, то невозмущенное движение x = 0 неустойчиво относительно
величин x₁, x₂, …, x_N.

Замечание 4. Если V положительно-определенная функция, то областью V > 0 является вся
окрестность нуля. Геометрическая интерпретация теоремы 4. Для доказательства неустойчивости невозмущенного движения достаточно найти всего одну траекторию изображающей точки
М, которая выходит из сферы B_?.

Пусть в начальный момент времени t = t₀ точки М находилась в области V>0. В этой области производная V^•>0, поэтому функция V монотонно возрастает, а точка М при t > t₀ не выйдет из этой области. Действительно, внутри области V>0 имеем cos ? > 0, а на границе
этой области (где V = 0) cos ? = 0. Следовательно, траектория точки М никогда не выйдет на границу этой области. Она с течением времени будет уходить в сторону возрастания
функции V и при некотором значении t = t₁ > t₀ выйдет из сферы B_?. Следовательно,
невозмущенное движение x = 0 неустойчиво относительно величин x₁, x₂, …, x_N.

Пример 5. Исследовать устойчивость нулевого решения системы
x^• = x² + 2y³, y^• = xy².
В качестве функции Ляпунова взять V = x²? y⁴.
Показать с помощью теоремы Четаева, что
нулевое решение неустойчиво.
Приведенные теоремы Ляпунова дают достаточные условия устойчивости и
неустойчивости невозмущенного движения относительно x.

Определение 5. Производной dV/dt функции V(x) = V(x₁, x₂, …, x_N) в силу уравнений возмущенного движения (1.18) называется ее полная производная по времени, вычисленная в
предположении, что величины x₁, x₂, …, x_N удовлетворяют уравнениям (1.18), т.е.

V ^•|_(3.5.1) = dV/dt | _(3.5.1) = (?V/?x₁dx₁/dt + … + ?V/?x_Ndx_N/dt) (3.5.1) (3.5)

Геометрическая интерпретация уравнений возмущенного движения (1.18)

Уравнения (3.5.1) описывают движение изображающей точки М с координатами x₁,…, x_N вдоль некоторой траектории ? в соответствии с уравнениями

dx/dt = U, (3.6)

где x=(x₁,…, x_N), U=(F₁, F₂,…, F_N)^T представляет собой скорость движения изображающей точки М, которая направлена по касательной к траектории ? (рис.3.4).

Рис.3.4 Геометрическая интерпретация уравнений возмущенного движения

Замечание 5. В соответствии с (3.6) производную (3.5) можно записать в виде скалярного
произведения двух векторов

V^• | _(3.5.1) = (U, grad V) = |U| |grad V| cos(U, grad V). (3.7)

Из (3.7) следует, что информация о знаке производной функции V(x) может характеризовать движение изображающей точки М системы (3.6).

Действительно, пусть функция V(x) является положительно-определенной, тогда вектор grad V направлен по нормали к поверхности V = c в сторону возрастания функции V, т.е. во внешнюю часть поверхности V = c (рис.3.5-3.7).

Тогда из анализа знака производной положительно-определенной функции V в соответствии с выражением (3.7) будем иметь:

1? Если V ^• > 0, то изображающая точка М, начав движение на поверхности V = c, будет выходить наружу этой поверхности, так как угол ? между касательной U к траектории ?
точки М и вектором градиента grad V ? острый (cos ? = cos(U,gradV) > 0) (рис.3.5).

Рис.3.5 Случай cos ? = cos(U,gradV) > 0

2? Если V • = 0, то изображающая точка М, начав движение на поверхности V = c, будет двигаться по касательной к этой поверхности, поскольку cos ? = 0 (угол ? прямой) (рис.3.6).

Рис.3.6 Случай cos ? = cos(U,gradV) = 0

3? Если V • < 0, то изображающая точка М, начав движение на поверхности V = c, будет входить внутрь этой поверхности, поскольку cos ? = cos(U,gradV) < 0 (угол ? ? тупой)
(рис.3.7).

Рис.3.7 Случай cos ? = cos(U,gradV) < 0

Следующие теоремы Ляпунова дают достаточные условия устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения относительно величин x₁, x₂, …, x_N.

1. Если функция V(x) знакоопределенная, то поверхность V(x₁, …, x_n)=c=const в
пространстве (x₁, …, x_n) является замкнутой поверхностью (рис.3.1).

Если функция V(x) знакопостоянная или знакопеременная, то поверхность V = c =const разомкнутая.

Рис.3.1 Поверхность V(x₁, …, x_n)=c=const для знакоопределенной функции V

2. Если функция V(x) знакоопределенная и |c₂| > |c₁|, то поверхность V = c₂ лежит снаружи поверхности V = c₁ и поверхности не имеют общих точек (рис.3.2).

Рис.3.2 Взаимное расположение поверхностей V = c₁, V = c₂ при c₂ > c₁ для знакоопределенной функции V

3. Поскольку вектор grad V направлен по нормали к поверхности V(x)=c в сторону возрастания функции V (рис.3.3). Тогда для положительно-определенной функции V вектор grad V направлен во внешнюю часть замкнутой поверхности V = c, а для
отрицательно-определенной функции V ? во внутреннюю часть замкнутой поверхности V = c.

Рис.3.3 Взаимное расположение поверхностей V = c₁, V = c₂ при c₂ > c₁
для знакоопределенных функций V

4. Если функция V положительно-определенная, то при достаточно малых значениях c изображающая точка М с координатами (x₁, …, x_n) при перемещении в сторону возрастания функции V(x₁, …, x_n) пересекает поверхность V=c изнутри наружу (и наоборот). Если функция V отрицательно-определенная, то при достаточно малых значениях c изображающая точка М с координатами (x₁, …, x_n) при перемещении в сторону возрастания функции V(x₁, …, x_n) пересекает поверхность V=c снаружи внутрь.

Определение 1.
1° Если в точке x₁=x₂=…=x_n=0 функция V(x) имеет локальный экстремум (минимум, максимум) и в любой малой окрестности этой точки нет других экстремумов, то данная
точка x₁=x₂=…=x_n=0 называется точкой изолированного экстремума.
2° Если в любой малой окрестности нуля существуют другие экстремумы функции V(x), то
точка x₁=x₂=…=x_n=0 называется точкой неизолированного экстремума.

Пример 2. Для V₁ = x₁² + x₂² точка x₁ = x₂ = 0 является точкой изолированного минимума.

Для V₂ = (x₁ ? x₂)² точка x₁ = x₂ = 0 является точкой неизолированного минимума.

Задачи 2. Какие точки экстремума следующих функций являются изолированными, какие неизолированными:
1) V₆(x₁, x₂) = x₁³ ? x₂² ? 2x₁²,
2) V₇(x₁, x₂) = 3x₁² + x₂² ? x₁³,
3) V₉(x₁, x₂) = x₁² + 4 x₁x₂+ 4x₂
2, 4) V₁₀(x₁, x₂, x₃) = (2x₁ + x₂)²+ (x₂ ? x₃)²,

Знакопеременные, знакопостоянные и знакоопределенные функции

Определение 2. Если в области (3.1) функция V(x) может принимать как положительные,так и отрицательные значения, то она называется знакопеременной.

Определение 3. Функция V = V(x) называется знакопостоянной (постоянно-положительной или постоянно-отрицательной), если в области (3.1)

1. V(0) = 0 при x = 0.
2. V(x) ? 0 (либо V(x) ? 0) при x ? 0.

Определение 4. Если в области (3.1) функция V(x) может принимать значения только одного знака и обращается в нуль только при x = 0, то она называется знакоопределенной (положительно-определенной или отрицательно-определенной), т.е.
1. V(0) = 0 при x = 0.
2. V(x) > 0 (либо V(x) < 0) при x ? 0.

Пример 3.

V₁ = x₁² + x₂² положительно-определенная функция,
V₂ = (x₁ ? x₂)² постоянно-положительная функция, V₃ = x₁² ? x₂² знакопеременная функция, V₄(x₁, x₂) = x₁² постоянно-положительная функция.

Задачи 3. Используя определения 2-4, исследовать свойства следующих функций:
1) V (x₁, x₂) = 4 x₁ + 2 x₂ + x₁² + x₁²,
2) V (x₁, x₂) = x₁² + x₂² ? x₁³,
3) V (x₁, x₂) = x₁⁴ + x₂⁴ ? x₂⁵,
4) V (x₁, x₂) = ? x₁² ? 2x₂² + 5x₁³,
5) V (x₁, x₂) = 3x₁² + x₂² ? x₁³,
6) V (x₁, x₂) = x₁³ +4 x₂³+ x₂⁴.
7) V (x₁, x₂) = 3 x₁ + x₂² + 2x₁² + x₁³,
8) V (x₁, x₂) = x₁² + 4 x₁x₂+ 4x₂²,
9) V (x₁, x₂, x₃) = (2x₁ + x₂)²+ (x₂ ? x₃)²,
10) V(x₁, x₂, x₃) = (x₁ ? x₂)² + (x₂ + x₃)² + 3x₃².

Замечания 1.

1° Знакоопределенная (положительно-определенная и отрицательно-определенная) функция имеет в нуле изолированный экстремум (изолированный минимум или изолированный максимум).

2° Знакопостоянная (постоянно-положительная и постоянно-отрицательная) функция имеет в нуле неизолированный экстремум (неизолированный минимум или неизолированный максимум), поскольку в любой окрестности нуля найдутся другие точки, в которых функция имеет минимум или максимум.

Необходимые условия экстремума функции

Известно, что необходимыми условиями существования экстремума функции V(x) = V(x₁, …, x_N) в точке x₁ = 0, …, x_N = 0, является обращение в нуль всех частных производных функции
V(x₁, …, x_N) по переменным x₁, …, x_N в этой точке
V = 0, (3.2)
где индекс (0) означает, что производные берутся в начале координат (при x=0).

К точкам экстремума (локального экстремума) функции V(x) относятся точки локального минимума и точки локального максимума. Функция V(x) в точке x=0 может
иметь точку перегиба. Точки перегиба и точки локального экстремума принято называть также критическими точками функции.

Пример 1. Точка x₁ = x₂ = 0 является точкой экстремума для функций V₁ = x₁² + x₂²,
V₂ = (x₁ ? x₂)². Точка x₁ = x₂ = 0 для функции V₃ = x₁² ? x₂² является точкой перегиба. Но точка
x₁ = x₂ = 0 не является точкой экстремума для функции V₄(x₁, x₂) = 4 x₁ + 2 x₂ + 2x₁² + x₂². Для
этой функции точкой экстремума является точка x₁ = ?1, x₂ = ?1.

Однако задачи механики и других областей науки и техники приводятся к рассмотрению сложных систем нелинейных дифференциальных уравнений (3.0), которые,
как правило, в конечном виде не интегрируются.

Учитывая это обстоятельство, А.М.Ляпунов в конце 19-го века разработал новые методы решения задачи устойчивости. Он предложил два метода исследования устойчивости
движения.

К первому методу относятся способы, основанные на представлении решения системы (3.0) в виде бесконечных рядов и исследовании свойств этих решений.

Второй (или прямой) метод не требует решения уравнений возмущенного движения (3.0). Он сводит решение задачи устойчивости нулевого решения системы (3.0) к изучению
свойств некоторых специально построенных функций (функций Ляпунова). Второй метод Ляпунова получил большое развитие в работах советских ученых. Этот метод является более простым и эффективным по сравнению с первым методом.
С его помощью можно получить достаточные условия устойчивости невозмущенногодвижения.

Решение: Уравнения первого приближения около установившегося движения имеют вид
x₁^•• ? 2? x₂^• + (?₀² ? ?²) x₁ = 0,
x₂^•• + 2? x₁^• + (?₀² ? ?²) x₂ = 0. (2.9)

Характеристический определитель системы (2.9)
?⁴ + 2(?₀² + ?²)?²+ (?₀² ? ?²)² = 0, имеет чисто мнимые корни относительно ?, поскольку ?² = ? ( ?₀ ? ? )².

Поэтому критерий Рауса-Гурвица I не выполняется, поскольку a₁ = a₃ = 0 и все определители Гурвица
обращаются в нуль.

Для исследования устойчивости установившегося движения ротора в данном случае воспользуемся теоремами Кельвина-Четаева. Для этого проанализируем
структуру сил, действующих в системе (2.9). Запишем систему (2.9) в матричном виде
x^•• + Gx^• + C x = 0. (2.10)

В данном случае на систему (2.10) действуют гироскопические и потенциальные силы.

При отсутствии гироскопических сил (G=0) нулевое решение системы (2.10) устойчиво, если ? < ?₀, т.к. потенциальная энергия имеет при этом условии изолированный
минимум. Согласно теореме Кельвина-Четаева эта устойчивость сохраняется при добавлении гироскопических сил. При ? > ?₀ потенциальная энергия имеет максимум, но
степень неустойчивости четная, т.к. detC=(?₀
²??²)²>0. Поэтому при ? > ?₀ возможна гироскопическая стабилизация установившегося движения за счет вращения ротора.

Пример 2. Исследовать влияние вязкого внутреннего трения (a>0) на устойчивость установившегося движения равномерно вращающегося ротора из примера 1.

Решение: Уравнения первого приближения около установившегося движения имеют вид
x₁^•• + ax₁^•? 2? x₂^• + (?₀² ? ?²) x₁ = 0,
x₂^•• + ax₂^• + 2? x₁^• + (?₀² ? ?²) x₂ = 0. (2.11)

Уравнения (2.11) «симметричны» относительно переменных x2, x2 и параметров системы. Введем комплекснозначную переменную z = x₁ + ix₂. Тогда уравнения (2.11) примут
вид
z^•• + az^•+ 2i?z^• + (?₀² ? ?²) z = 0. (2.12)

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (2.12) таково
?*(?) = ?² + (a + 2i?)?+ (?₀² ? ?²) = 0. (2.13)

Коэффициенты a₁*= (a + 2i?), a₂*= (?₀² ? ?²) уравнения (2.13) комплексные величины.

Преобразуем характеристическое уравнение (2.13), сделав в нем замену ?=i?. В результате получим полином следующего вида
(? ?²) + (? 2? + ia) ? + (?₀² ? ?²) = 0 (2.14)

Определители матрицы Гурвица для полинома (2.14) имеют вид.

Применив критерий Рауса-Гурвица II для полиномов с комплексными коэффициентами, получим условие асимптотической устойчивости исследуемого установившегося
движения ротора в виде ?0.

Замечание: Поскольку вязкое внутреннее трение вводит в систему (2.11) диссипативные силы с полной диссипацией, то при ? > ?₀ гироскопическая стабилизация разрушается и установившее движение ротора становится неустойчивым.

Запишем характеристическое уравнение (2.3) в виде полинома
?(?) = ?^? + a₁?^??1+ … + a_{? ?1}? + a_? = 0. (2.4)

Составим матрицу Гурвица

Критерий Рауса-Гурвица I (для полиномов с действительными коэффициентами) Для того чтобы корни алгебраического уравнения (2.4) с действительными коэффициентами a_k имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все
главные диагональные миноры (2.5) матрицы Гурвица были положительными
?k > 0 (k = 1, 2, …, N) (2.6)

Заметим, что необходимым условием выполнения неравенств (2.6) является условия Стодолы – условия положительности всех коэффициентов характеристического полинома (2.4)
a_k > 0 (k = 1, 2, …, N).

Критерий Льенара-Шипара Для того чтобы корни алгебраического уравнения (2.4) с действительными
коэффициентами a_k имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно,
чтобы:

1. При N = 2m (четном) все коэффициенты характеристического полинома (2.4) и главные
диагональные миноры (2.5) матрицы Гурвица нечетного порядка были положительными
a₁ > 0, …, a_N > 0, ?₁ > 0, ?₃ > 0, ?₅ > 0, …, ?_2m-1 > 0.

2. При N = 2m+1 (нечетном) все коэффициенты характеристического полинома (2.4) и главные диагональные миноры (2.5) матрицы Гурвица четного порядка были
положительными
a₁ > 0, …, a_N > 0, ?₂ > 0, ?₄ > 0, ?₆ > 0, …, ?_2m > 0.

Если уравнений движения (2.2) четное количество и уравнения «симметричны» относительно переменных и параметров системы, то бывает удобно осуществить операцию компрессии этих уравнений, перейдя к комплекснозначным переменным, например, z=x₁+ix₂ (смотри ниже пример 2.4).

Тогда для уравнений первого приближения, записанных в новых комплекснозначных переменных, характеристическое уравнение будет представлять собой алгебраическое
уравнение (2.7)
?*(?) = ?^? + a₁*?^??1+ … + a*_{? ?1}? + a_?* = 0, (2.7)
в котором коэффициенты a₁*, …, a_?* будут комплексными величинами.

Для исследования характеристического уравнения (2.7) удобно применить критерий Рауса-Гурвица II для полиномов с комплексными коэффициентами.

Преобразуем характеристическое уравнение (2.7), сделав в нем замену ?=i?. В
результате получим преобразованное характеристическое уравнение следующего вида
(c₀ + ib₀) ?^N + (c₁ + ib₁) ? ^{N ?1} + … + (c_N?1 + ib_N?1) ? + (c_N + ib_N) = 0 (2.8)

Составим определители матрицы Гурвица для полинома (2.8)
(2 2)

Критерий Рауса-Гурвица II (для полиномов с комплексными коэффициентами) Для того чтобы все корни ?_k (k = 1, … , N) алгебраического уравнения с комплексными коэффициентами (2.8) имели положительные мнимые части Im ?_k > 0 (это означает, что все
корни ?_k характеристического полинома (2.7) имеют отрицательные действительные части Re ?_k < 0), необходимо и достаточно, чтобы все определители ?*k имели чередующиеся знаки, начиная с первого отрицательного
(?1)k ?*_k > 0 (k = 1, 2, …, N)

Обращение в ноль какого-либо коэффициента характеристического полинома (2.4) или главного диагонального минора (2.5) матрицы Гурвица приводит к невыполнению
условий критериев Рауса-Гурвица или Льенара-Шипара и, соответственно, к невыполнению словий теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. В этом случае
нулевое решение линейной системы (2.2) не является асимптотически устойчивым. Однако, тем не менее, оно может быть просто устойчивым (не асимптотически).
Для исследования устойчивости нулевого решения системы (2.2) в этих случаях необходимо применять другие методы, например, методы, основанные на анализе структуры
сил, действующих на системе.

Решение: Данная система имеет два положения равновесия (особые точки)
x₁ = 0, y₁ = 0,
x₂ = b/d, y₂ = a/c.
Введем отклонения от положений равновесия
z₁ = x ? x_k, z₂ = y ? y_k, (k=1,2).
Тогда уравнения первого приближения около положений равновесия примут вид:
z₁^• = (a ? cy_k) z₁ ? cx_k z₂,
z₂^• = dy_k z₁ + (? b + dx_k) z₂.

Для первого положения равновесия уравнения первого приближения таковы
z₁^• = a z₁,
z₂^• = ? bz₂
;
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид (?? a)( ? + b) = 0.
Для второго положений равновесия уравнения первого приближения следующие
u₁^• = ? (cb/d) u₂,
u₂^• = (ad/c) u₁,
а характеристическое уравнение имеет вид ?₂ + ab = 0.
Путем анализа корней характеристических уравнений можно сделать следующие выводы:

1. При a>0, b>0 нулевое положение равновесия x₁ = 0, y₁ = 0 исходной нелинейной системы неустойчиво («грубая» особая точка – седло, см. замечание ниже), поскольку существует корень характеристического уравнения, лежащий в правой полуплоскости ?₁=?a>0. Для второго положения равновесия x₂, y₂ характеристическое уравнение имеет два чисто мнимых
корня (Re ?_1,2 = 0). В этом случае имеем критический случай исследования устойчивости по Ляпунову, т.е. об устойчивости второго положения равновесия x₂, y₂ ничего сказать нельзя –
нужно исследовать полные нелинейные уравнения. Численный анализ исходной нелинейной системы показывает, что при любых начальных условиях x₀>0, y₀>0 движение
изображающей точки происходит по замкнутым фазовым траекториям вокруг второй особой точки x₂, y₂ (рис.2.1). Следовательно, второе положение равновесия x₂, y₂ исходной нелинейной системы устойчиво (не асимптотически).

Рис.2.1 Фазовые траектории в случае a>0, b>0

2. При a<0, b>0 нулевое положение равновесия x₁ = 0, y₁ = 0 ? асимптотически устойчиво («грубая» особая точка – устойчивый узел), поскольку оба корня характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости (Re ?_1,2<0). Второе решение x₂, y₂ – неустойчиво («грубая» особая точка – седло), поскольку существует корень характеристического
уравнения, лежащий в правой полуплоскости.

Замечание: Особая точка называется «грубой», если при добавлении в систему малых нелинейных слагаемых, тип особой точки не меняется.

Пример 2. Исследовать устойчивость по первому приближению нулевого решения системы
x^• = ? y + a x (x² + y²)^0.5 ,
y^• = ? ? x + a y (x² + y²)^0.5,

Решение: Введем отклонения z₁ = x ? x₁, z₂ = y ? y₁ от нулевого положения равновесия x₁=0, y₁=0. Уравнения первого приближения около данного положения равновесия таковы:
z₁^• = ? z₂,
z₂^• = ? ? z₁.

Характеристическое уравнение ?² + ?² = 0 имеет два чисто мнимых корня ? = ± i?.

Следовательно, имеем критический случай исследования устойчивости по Ляпунову.

Нулевое решение x₁= y₁= 0 линейной системы (при a = 0) просто устойчиво, но об
устойчивости нулевого решения x₁ = y₁
= 0 исходной нелинейной системы (при a ? 0) ничего
сказать нельзя – нужно исследовать полные нелинейные уравнения.

Умножим первое уравнение на x, второе – на y и сложим уравнения. Получим x x^• + y y^•= a (x² + y²) (x² + y²)^0.5.

Если сделать замену x² + y² = r², то данное уравнение можно переписать в виде
r^• = a r².
Последнее уравнение легко интегрируется
r = r₀/[1 - a r₀ (t - t₀)].

Из анализа данного решения нелинейной системы нетрудно сделать выводы о том, что нулевое положение равновесия x₁ = y₁ = 0 нелинейной системы при a<0 асимптотически устойчиво (величина r стремится к нулю «по гиперболе»), а при a >0 ? неустойчиво (величина r за конечное время уходит из малой окрестности нуля, а именно, при t ? t₁=[ t₀ + 1/(ar₀)] стремится к бесконечности r ??.