Бифуркация равновесий

Потенциальная энергия П механической системы, как правило, зависит не только от обобщенных координат q, но и от таких параметров системы, как масса, длина, жесткость пружины и т.д.

При изменении параметров системы поведение системы в окрестности положения равновесия также может изменяться – устойчивое положение равновесия может стать неустойчивым и, наоборот, неустойчивое положение равновесия может стать устойчивым.

Значения параметров системы, при которых свойства системы резко изменяются, называются критическими или бифуркационными. Займемся задачей нахождения таких значений параметров системы.

Рассмотрим консервативную механическую систему с одной степенью свободы, на которую наложены стационарные голономные связи. Обозначим интересующий нас параметр системы через α, тогда П = П(q, α).

Исследуем, как влияет изменение параметра α на поведение системы в окрестности абсолютного равновесия системы.

Из уравнения абсолютного равновесия (4.6)

∂П/∂q = 0 (4.15)

найдем положения абсолютного равновесия (множество положений равновесия)

qp = qp(α). (4.16)

Значения координат в положении равновесия зависят, в общем случае, от параметра α.

Множество положений абсолютного равновесия удобно представлять на плоскости (q,α) в виде точек М кривой равновесий С, определяемых выражением (4.16)

С = {(q, α); q = q(α)}. (4.17)

Кривая равновесий С может состоять из нескольких ветвей С1, С2, … (рис.1).


Кривые равновесий
Рис.1 Кривые равновесий q = q(α)

Согласно теореме Лагранжа те равновесия, для которых

Δ = (∂2П/∂q2)qp > 0, (4.18)

являются устойчивыми по Ляпунову относительно величин q и q, а те, для которых

Δ = (∂2П/∂q2)qp < 0, (4.19)

согласно теореме 4.2 (Ляпунова) неустойчивыми.

Определение 4.2. Точки М0 кривой С, для которых

Δ = (∂2П/∂q2)qp = 0 (4.20)

называются критическими или точками бифуркации (ветвления).

На рис. 2 представлен случай, когда в системе имеется три точки бифуркации М01, М02, М03, соответствующие трем бифуркационным значениям параметра α01, α02, α03. Точками бифуркации (ветвления) являются точки пересечения ветвей кривой равновесия (точка М01), а также точки, в которых кривая равновесия имеет вертикальную касательную (точка М02 и М03).


Точки бифуркации (ветвления)
Рис.2 Точки бифуркации (ветвления)

Таким образом, точки кривой С, удовлетворяющие выражению (4.18), отвечают устойчивым положениям равновесия, а точки, удовлетворяющие (4.19), — неустойчивым.

Утверждение 4.1
1° Смена устойчивости положений равновесия (на кривой С) может происходить только в точках бифуркации.
2° Распределение устойчивых и неустойчивых положений равновесия для фиксированного значения подчиняется закону смены устойчивости.

Закон смены устойчивости
На плоскости (q, α) проведем прямую α = α1 = const, которая пересекает кривую равновесий С в некоторых (занумерованных последовательно) точках М1, М2, М3, …, которые не являются точками бифуркаций (рис. 3).


Закон смены устойчивости при фиксированном значении параметра
Рис.3 Закон смены устойчивости при фиксированном значении параметра α = const

Тогда при «движении» по прямой α1 = const устойчивые и неустойчивые точки (положения равновесия) будут чередоваться, например, если точка М1 соответствовала устойчивому положению равновесия, то точка М2 — неустойчивому и т.д.

Пример. Найти и исследовать положения равновесия физического маятника массой m, шарнирно закрепленного в неподвижной точке О (рис. 4). Между маятником и шарниром установлена крутильная пружина жесткости k. Предполагается, что при недеформированной пружине маятник занимает вертикальное положение φ=0, где – угол отклонения маятника от вертикали.

Маятник имеет потенциальную энергию
П = mgl cos φ + kφ2/2
где l — расстояние от неподвижной точки до его центра масс, а φ — угол отклонения маятника от верхнего положения равновесия.


Физический маятник с крутильной пружиной
Рис.4 Физический маятник с крутильной пружиной

Из уравнений движения можно вывести уравнение равновесия маятника
∂П/∂φ = 0 ⇔ kφ — mgl sin φ = 0,
которое имеет частные решение: φ0 = 0, описывающее верхнее положение равновесия.

Для исследования устойчивости найдем вторую производную от потенциальной энергии в положении равновесия
2П/∂ϕ2 = k — mgl .
Достаточным условием устойчивости согласно теореме Лагранжа будет неравенство
k > mgl


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru