Образовательный блог – всё для учебы

Архив рубрики «Теория устойчивости»

Для того, чтобы применять приведенные выше теоремы об устойчивости, необходимо каким-то образом найти или построить функцию Ляпунова V.
Н.Г.Четаев предложил способ построения функции Ляпунова V в виде связки интегралов уравнений движения.

Определение 3.6. Функция V = V(x) называется первым интегралом уравнений движения (3.5.1)
dx/dt = F(x), F(0) = 0, x (t₀) = x₀. (3.5.1)
если полная производная по времени от функции V(x), вычисленная в силу этих уравнений,
тождественно равна нулю, т.е.
V|_(1.18) = dV/dt|_1.18 = ?V/?x₁ dx₁/dt + … + ?V/?x_N dx_N/dt|_1.18 = ?V/?x₁ F₁ + … + ?V/?x_N F_N ? 0. (3.8)
Прочитать остальную часть записи »

Теорема 1. (теорема Ляпунова об устойчивости) Если для уравнений возмущенного
движения (1.18) можно найти знакоопределенную функцию V, производная V^• которой в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение x=0 устойчиво относительно величин x₁, x₂, …, x_N.
Прочитать остальную часть записи »

Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид
dx/dt = F(x), F(0) = 0, x (t₀) = x₀. (3.5.1)

Определение 5. Производной dV/dt функции V(x) = V(x₁, x₂, …, x_N) в силу уравнений возмущенного движения (1.18) называется ее полная производная по времени, вычисленная в
предположении, что величины x₁, x₂, …, x_N удовлетворяют уравнениям (1.18), т.е.
Прочитать остальную часть записи »

Геометрические свойства знакоопределенной функции Ляпунова V(x)

1. Если функция V(x) знакоопределенная, то поверхность V(x₁, …, x_n)=c=const в
пространстве (x₁, …, x_n) является замкнутой поверхностью (рис.3.1).
Прочитать остальную часть записи »

Задачи 1. Найти точки экстремума (критические точки) для функций:
1) V₅(x₁, x₂) = x₁ ? 3 x₂ + x₁ x₂,
2) V₆(x₁, x₂) = x₁³ ? x₂² ? 2x₁²,
3) V₇(x₁, x₂) = 3x₁² + x₂² ? x₁³,
4) V₈(x₁, x₂) = x₁³ +4 x₂³+ x₂⁴.
Прочитать остальную часть записи »

Рассмотрим однозначную функцию V(x) = V(x₁, …, x_N), определенную в области
||x (t)|| < ?, (3.1)
обращающуюся в нуль V(0) = 0 при x = 0 и обладающую непрерывными первыми частными Прочитать остальную часть записи »

Задача об устойчивости нулевого решения x=0 системы дифференциальных уравнений
dx/dt = F(x), F(0) = 0, x (t₀) = x₀. (3.0)
может быть решена без особых трудностей, если эта система может быть проинтегрирована и в явном виде получены выражения для решения x = x(t, x₀) системы (3.0) как функции времени и начальных условий.
Прочитать остальную часть записи »

Пример 1. Исследовать устойчивость установившегося движения равномерно вращающегося ротора на линейно упругом валу в случае идеального двигателя (неограниченной мощности), который обеспечивает в любой момент времени постоянную
угловую скорость вращения ротора ? = const.
Прочитать остальную часть записи »

Существуют различные критерии определения знака действительных частей корней характеристического уравнения (2.3). Наибольшее распространение получил критерий
Рауса-Гурвица, который дает необходимые и достаточные условия отрицательности действительных частей всех корней характеристического уравнения системы.
Прочитать остальную часть записи »

Пример 1. Найти положения равновесия нелинейной системы и исследовать их устойчивость с помощью теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению
x^• = a x ? c x y, c?0
y^• = ? by + d x y, d?0.
Показать, что в зависимости от знаков параметров a, b выводы об устойчивости различные.
Прочитать остальную часть записи »

А.М. Ляпунов доказал ряд теорем, согласно которым об устойчивости нулевого решения x=0 нелинейной системы (2.1) можно судить по устойчивости ее линейной части
(2.2). Приведем некоторые из них для случая постоянной матрицы A₁? = const.

Замечание 1. Если элементы матрицы A_1? = A₁ (t) зависят от времени, то уравнения первого
приближения (2.2) являются линейными нестационарными дифференциальными уравнениями. Технология исследования устойчивости нулевого решения в данном случае
является более сложной и отличается от той, которая представлена ниже.
Прочитать остальную часть записи »

Выделим в правой части уравнений возмущенного движения (1.18) линейные слагаемые и запишем эти уравнения в виде
dx/dt= A₁x + F₂(x), x(t₀) = x₀. (2.1)

Здесь A₁ ? матрица размерности N?N, элементы которых определяются, линейными слагаемыми вектора правых частей F(x) уравнения (1.18), F₂(x) ? N-мерный вектор-столбец нелинейных слагаемых, причем F₂(0) = 0.
Прочитать остальную часть записи »

Определение (асимптотической устойчивости по Ляпунову): Невозмущенное движение x = 0 системы (1.19) называется асимптотически устойчивым по Ляпунову относительно величин x, если
а) оно устойчиво
б) если существуют такое число ? > 0, что для любых Прочитать остальную часть записи »

Чтобы вывести уравнения возмущенного движения введем новые переменные, представляющие собой отклонения (или вариации) x₁, x₁^•=x₂ возмущенного движения q(t), q^•(t) (1.5) от невозмущенного ?(t), ?^•(t) (1.3), а именно:
q(t) = ?(t) + x₁, q^•(t) = ?^•(t) + x₁^•. (1.15)
Прочитать остальную часть записи »

Особенности определения устойчивости по Ляпунову

1. В основе определения устойчивости по Ляпунову лежит понятие числа, а не бесконечно малой величины.

Замечание. Это факт имеет большое практическое значение, поскольку по заданным величинам ?₁, ?₂, характеризующим отклонения возмущенного движения от невозмущенного в любой момент времени, можно найти другие числа ?₁, ?₂, характеризующие численные значения начальных возмущений, которые являются численно малыми, но конечными.
Прочитать остальную часть записи »

Определение (неустойчивости по Ляпунову) Невозмущенное движение q_p = ?(t), q_p^•=?^•(t) системы (1.1) называется неустойчивым по Ляпунову относительно величин q, q^•, если существуют числа ?₁₀, ?₂₀ > 0 такие, что для любых чисел ?₁, ?₂ > 0 существует решение q(t), q^•(t) уравнений (1.1) и момент времени t₁ > t₀ такие, что,
Прочитать остальную часть записи »