Введение в теорию вероятностей

Изучаемая теорией схема
Предполагается, что проводится некоторый эксперимент, результат ω (исход эксперимента) заранее неизвестен, непредсказуем, изменяется при повторении эксперимента при неизменных условиях. Известно множество всех возможных исходов эксперимента; это множество обозначим

Ω ={ω}

и будем называть его пространством элементарных исходов (или множеством элементарных исходов).

1.1. Случайные события. Отношение событий

а) Если говорить неформально, случайное событие А' — это событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента. Можно сказать иначе: случайное событие А' — это предположение относительно результата эксперимента.

Пример. Эксперимент — бросание игральной кости. Множество всех возможных элементарных исходов

Ω = {ω1,…,ω6}= {Г1,…, Г6},

где Гi — грань игральной кости. Можно считать также, что множество всех элементарных исходов (это 6 чисел) — количество выпадающих очков:

Случайное событие А' = {появление четного числа}. Это событие может произойти, но может и не произойти. Мы можем выделить из Ω те элементарные исходы, на которых событие А' имеет место — это множество А = {2, 4, 6}.

Случайному событию А' соответствует множество А: А'→А = {2, 4, 6}, т.е. случайное событие определяется множеством тех элементарных исходов, на которых оно имеет место. Так можно сделать всегда: для любого случайного события (предположения) А' можно указать множество А тех элементарных исходов, на которых оно имеет место; этим множеством и определяется случайное событие.

б) Формальное определение: случайное событие А — это подмножество элементов из Ω: A⊆Omega;.

Мы не будем делать различия в обозначениях между случайным событием А' — предположением относительно результата эксперимента (фразой) и множеством А исходов, на которых это предположение реализуется.

Основные определения теории вероятностей

1. Два случайных события А' и В' (два предположения) называются эквивалентными, если им соответствует одно и то же множество элементарных исходов.

Например, в эксперименте бросания игральной кости, случайные события
А'= {появление нечетного числа} и
В' = {появление 1 или простого числа, не равного 2}.

Этим двум случайным событиям соответствует одно и то же множество исходов {1, 3, 5}, поэтому они эквивалентны.

2. Событие называется достоверным, если оно имеет место при любом исходе эксперимента. Ему соответствует все множество Ω. Например, в эксперименте бросания игральной кости событие А = {появление числа, превышающего 0}.

3. Событие называется невозможным, если оно не реализуется ни при одном исходе эксперимента. Ему соответствует пустое множество ∅. Например, в нашем эксперименте событие А — {появление числа, большего 10}.

4. Событие С называется суммой (или объединением) событий А и В, если оно состоит в наступлении хотя бы одного из них и обозначается

С = А+В или С = А∪В

На рис. 1.1а событие С заштриховано. Точками квадрата условно показано множество Ω, всех исходов.

5. Событие С называется произведением событий А и В, если оно состоит в их одновременном наступлении; обозначается

С = АВ или С = А∩В

На рис. 1.16 событие С заштриховано.

6. Два события называются несовместными, если их одновременное наступление невозможно:

А∩В = ∅,

что иллюстрирует рис. 1.1 в.

7. Говорят, что «событие А влечет В», если каждый раз, когда наступает А, наступает и В. Обозначается

А⇒В или А⊆В

и иллюстрируется рис. 1.1г.

8. Событие С называется разностью событий А к В, если оно состоит в появлении А и непоявлении В; обозначается

С = А — В или С=А\В,

На рис. 1.1д событие С заштриховано.

9. Событие А называется противоположным к А, если оно состоит в непоявлении A. На рис. 1.1е А заштриховано.

10. Система событий {A1, …, An} называется полной группой событий, если в результате эксперимента имеет место одно и только одно из них.

Это означает:

Аi∩Aj = ∅, i≠j, ∪Ai = Ω

(см.рис. 1.1 ж).


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru