Обсудим физические предпосылки определения вероятности. Известен один опытный факт, объясняющий введение понятия вероятности.

Предположим, имеется некоторый эксперимент, где Ω — множество его возможных исходов; А — некоторое случайное событие, например бросание игральной кости; А — {появление четного числа}.

Повторим п раз эксперимент и подсчитаем количество ν_n(А) (частоту) появлений события А. Обозначим f_n(А) = ν_n(A)/n относительную частоту появления А.

Проделаем эксперимент много раз (сотни и тысячи). Мы увидим, что относительная частота f_n(А) с ростом n стабилизируется, частота f_n(А) стремится к некоторому предельному значению, обозначим его Р(А). Если мы зафиксируем другое случайное событие В, например В = {появление «6»}, то мы снова заметим, что частота f_n(В) стабилизируется, но стремится к другому значению — обозначим его Р(В). Эти наблюдения говорят нам о том, что каждому случайному событию объективно соответствует некоторое число — предел, к которому стремится относительная частота. Этот предел назовем вероятностью (точнее, статистической вероятностью).

Итак, неформально, физически (точнее, статистически), вероятность есть объективная характеристика случайного события, дающая представление о том, как часто появится событие при многократном повторении опыта.

Аксиоматическое определение: числовая функция Р(А), введенная на подмножествах из Ω и удовлетворяющая свойствам 1, 2, 3, называется вероятностью.

При таком подходе соотношения 1, 2, 3 являются аксиомами вероятности, аксиома 3 называется аксиомой сложения. Дополнительно предполагается, что аксиома 3 верна дня счетного числа несовместных событий:
За) расширенная аксиома сложения. Если А_i∩А_j = ∅, i ≠ j , то

P(∪А_i) = ∑P (А_i)

Замечание. Полезно иметь ввиду, что механическим аналогом вероятности случайного события является вес соответствующего множества элементов, численно равный вероятности, причем вес Ω равен 1. Очевидно, аксиомы 1, 2 и 3 для веса выполняются.

Комментарии запрещены.