Образовательный блог – всё для учебы

1. Собственные колебания – это периодические движения, совершаемые системой после выведения её из положения равновесия.

2. Собственные колебания описываются однородными дифференциальными уравнениями.

3. Устойчивому положению равновесия консервативной системы с одной степенью свободы соответствует точка типа центр.

4. Неустойчивому положению равновесия консервативной системы с одной степенью свободы соответствует точка типа седло.

5. Абсолютное положение равновесия – это такое равновесие, при котором все обобщённые координаты постоянны во времени, а обобщённые скорости равны нулю.

6. Уравнения равновесия консервативной системы:
{?П/?qi=0}, i=0..n

7. Интеграл энергии равен механической энергии системы в начальный момент времени:
h = Т + П = 0,5 z_o^*T A z_o^* + 0,5 z_o^T C z_o, где z_o = z(0), z_o^* = z*(0).

8. Способы вывода уравнений малых колебаний нелинейной консервативной системы:
Вводим координату, определяющую малое отклонение от положения равновесия:
q = q_o + z,
где q_o – положение равновесия
z – отклонение от положения равновесия
а) Имея кинетическую и потенциальную энергию системы, выраженную в обобщённых координатах, мы получаем уравнение Лагранжа II-го рода в обобщённых координатах. В уравнении делаем замену переменных z = q – q_o и все нелинейные слагаемые раскладываем в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия. Отбросив при разложении в ряд все нелинейные составляющие, получаем уравнения малых колебаний.
б) В известных формулах кинетической и потенциальной энергиях, выраженных через обобщённые координаты, делаем замену переменных z = q – q_o. Все нелинейные слагаемые раскладываем в ряд Тейлора в окрестности положения равновесия и исключаем все нелинейные слагаемые 3-го и более порядка. Получаем кинетическую и потенциальную энергии, выраженные через z и z*. Полученные энергии подставляем в уравнение Лагранжа II-го рода и получаем уравнение малых колебаний.

9. Основная особенность консервативных систем состоит в том, что получаемые матрица жесткостей и инерционная матрица являются симметричными матрицами, а инерционная матрица помимо прочего является и положительно определённой матрицей.

10. Положение равновесия называется устойчивым, если любое малое отклонение от него не выводит значения координат и скоростей системы за некую окрестность положения равновесия.

11. Характеристическое уравнение для уравнений малых колебаний консервативной системы:
det(C+?²A)=0, где С – матрица жесткостей, А – инерционная матрица.

12. Общее решение уравнений малых колебаний консервативной системы:
z = ? Vi ( b_i1 e^?i t + b_i2 e ^?i t )

13. При значении характеристического числа ?_i2 < 0 среди мод колебаний линейной консервативной системы имеется гармоническое колебание.

14. При значении характеристического числа ?_i2 > 0 среди мод колебаний линейной консервативной системы имеется нарастающая мода.

15. Формулировка теоремы Ляпунова о неустойчивости положения равновесия по первому приближению: если среди корней характеристического многочлена найдётся хотя бы один корень с положительной действительной частью, то решение такой системы не является устойчивым.

16. Частотное уравнение устойчивой консервативной системы:
det(C-?²А)=0

17. Спект частот – это все решения биквадратного уравнения det(C-?²А)=0.

18. Коэффициентом устойчивости (с_i) для данного характеристического числа (?_i) называется квадрат характеристического числа, взятого с обратным знаком.

19. Степень устойчивости – это число отрицательных коэффициентов устойчивости.

20. Чтобы, не находя коэффициенты устойчивости Пуанкаре, определить чётность/нечётность степени устойчивости консервативной системы, необходимо проанализировать знак определителя матрицы жёсткости. Если определитель меньше нуля, то степень устойчивости нечётная; если больше нуля – чётная.

21. Нормальные координаты консервативной системы – это такие координаты, в которых кинетическая и потенциальная энергии имеют вид диагональных квадратичных форм, а колебания происходят одной частотой.

22. Приведённые массы и приведённые жёсткости консервативной системы определяются следующим образом:
m_i = v_i^T A v_i ,
k_j = v_j^T C v_j .

23. см. пункт 21.

24. Уравнения малых колебаний консервативной системы в нормальных координатах:

z = ? V_i ?_i

25. Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы: для того, чтобы квадратичная форма была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы жёсткости были положительны.

26. Критерий Сильвестра отрицательной определённости квадратичной формы: для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы жёсткости имели чередующиеся знаки, начиная с первого отрицательного минора.

27. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативных систем: если потенциальная энергия в положении равновесия имеет изолированный минимум, то такое равновесие устойчиво.

28. Обращение теоремы Лагранжа о неустойчивости положения равновесия консервативных систем: если потенциальная энергия в положении равновесия не имеет изолированного минимума, то такое равновесие неустойчиво.

1. Примеры устойчивости по первому приближению
2. Особенности определения устойчивости по Ляпунову
3. Теоремы об устойчивости по первому приближению
4. Критерии Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара
5. Вопросы по АФХД
6. Общие представления об устойчивости движения
7. Уравнения возмущенного движения
8. Асимптотической устойчивости по Ляпунову. Неустойчивости по Ляпунову
9. Линейные рекуррентные уравнения однородные и неоднородные с постоянными коэффициентами
10. Стандартизованные формы представления моделей
11. Уравнения первого приближению
12. Примеры критериев Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара
13. Упругость и колебания
14. Рекуррентные уравнения, порядок уравнения, частное и общее решение
15. Правила оформления отчета расчетного задания
16. Метод Четаева построения функции Ляпунова (второй метод Ляпунова)
17. Каноническая форма уравнений состояния