Элементы теории вероятностей в анализе надежности энергооборудования

В качестве одного из основных понятий теории вероятностей выступает понятие события.

Под событием в теории надежностей понимают всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы назовем вероятностью события.

Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

При введении понятия вероятности события, мы связываем с этим понятием определенный практический смысл, а именно: на основании опыта мы считаем более вероятными те события, которые происходят чаще; менее вероятными – те события, которые происходят реже; маловероятными – те, которые почти никогда не происходят.

Таким образом, понятие вероятности события в самой своей основе связано с опытным, практическим понятием частоты события.

Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, необходимо установить какую-то единицу измерения.

В качестве такой единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта непременно должно произойти. Пример достоверного события – выпадение не более 6 очков при бросании одной игральной кости.

Если приписать достоверному событию вероятность равную единице, то все другие события – возможные, но не достоверные будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы.

Противоположностью по отношению к достоверному событию является невозможное событие т.е. такое событие, которое в данном опыте не может произойти.

Пример невозможного события – появление 7 очков при бросании одной игральной кости. Естественно приписать невозможному событию вероятность, равную нулю.

При научном исследовании различных технических задач часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Таким образом, события бывают:
• невозможные;
• закономерные (достоверные);
• случайные.

Для каждого события Х вероятность его появления равна:

0 ≤ P(X) ≤ 1 (1)

Существует целый класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов легко оценить непосредственно из условий самого опыта. Для этого нужно, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и в силу этого, были объективно одинаково возможными.

Симметричность возможных исходов опыта обычно наблюдается только в искусственно организованных опытах, типа азартных игр.
Несмотря на ограниченную сферу практических применений этой так называемой «классической» схемы, она представляет интерес, так как именно на опытах обладающих симметрией возможный исходов, и на событиях, связанных с такими опытами, легче всего познакомиться с основными свойствами вероятностей.

Введем некоторые вспомогательные понятия:
1. Полная группа событий
Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

2. Несовместные события
Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе.

3. Равновозможные события
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

Существуют группы событий, обладающие всеми тремя свойствами. События, образующие такую группу, называются случаями.

Случай называется благоприятным (или благоприятствующим) некоторому событию, если появление этого случая влечет за собой появление данного события.

Вероятность события А в данном опыте, который сводится к схеме случаев можно оценить по относительной доле благоприятных случаев.

Вероятность события А вычисляется как отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев:

P(A) = m/n (2)

где Р(А) – вероятность события А; n – общее число случаев; m- число случаев, благоприятных событию А.

Пример: В котельном отделении ТЭС имеется 6 однотипных котлов, находящихся в одинаковых условиях эксплуатации. Котлам присвоены номера от 1 до 6. События А – выходу из строя котла с четным номером – благоприятствуют три случая (отказы котлов с номерами 2, 4, 6) и неблагоприятствуют остальные три (отказы котлов с номерами 1, 3, 5).

Формула (2) для не посредственного подсчета вероятностей применима только тогда, когда опыт, в результате которого может появиться интересующее нас событие, обладает симметрией возможных исходов (сводится к схеме случаев).

Для событий, не сводящихся к схеме случаев, применяются другие способы определения вероятностей. Все эти способы «корнями» уходят в опыт, в эксперимент, и для того, чтобы составить представление об этих способах, необходимо уяснить понятие частоты события и специфику той органической связи, которая существует между вероятностью и частотой.

Если произведена серия из n опытов в каждом из которых могло появиться или не появиться некоторое событие А, то частотой события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов.

P*(A) = m/n (3)
где m- число появлений события А; n – общее число произведенных опытов.

Частоту события часто называют его статистической вероятностью (в отличие от «математической»).

При небольшом числе опытов частота события носит в значительной мере случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой.

Однако при увеличении числа опытов частота события все более теряет свой случайный характер; случайные обстоятельства, свойственные каждому отдельному опыту и частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней постоянной величине.

Это свойство «устойчивости» частот, многократно проверенное экспериментально и подтверждающееся всем опытом практической деятельности человечества, есть одна из наиболее характерных закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях. Математическую формулировку этой закономерности впервые дал Я.Бернулли. Он доказал, что при неограниченном увеличении числа однородных независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что частота события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности в отдельном опыте.

Связь между частотой события и его вероятностью – глубокая, органическая связь. Эти два понятия по существу неразделимы. Характеризуя вероятность события каким-то числом, мы не можем придать этому числу иного реального значения и иного практического смысла, чем относительная частота появления данного события при большом числе опытов.

Таким образом, вводя понятие частоты события и пользуясь связью между частотой и вероятностью, мы получаем возможность приписать определенные вероятности, заключенные между 0 и 1, не только событиям, которые сводятся к схеме случаев, но и тем событиям, которые к этой схеме не сводятся; в последнем случае вероятность события может быть приближенно определена по частоте события при большом числе опытов.

Пример (методологический)
Выражение «вероятность поражения самолета в воздушном бою для данных условий равна 0,7» имеет определенный конкретный смысл, потому что воздушные бои мыслятся как массовые операции, которые будут неоднократно повторяться в приблизительно одинаковых условиях.

Выражение «вероятность того, что данная научная проблема решена правильно, равна 0,7» лишено конкретного смысла, и было бы методологически неправильно оценивать правдоподобие научных положений методами теории вероятностей.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru