Упорядочение векторных критериев оптимальности при помощи обобщенной функции цели

Рассмотрим значения векторного критерия Q = (Q1,…, Qs) в точках хk и хl принадлежащие области компромиссов Dk:

Qk = Q (хk) = (Q1k, Q2k, …, Qsk) и Ql = Q (хl) = (Q1l, Q2l, …, Qsl). (2.11)

Согласно определению эффективной точки (1.81), векторные критерии (2.11) не удовлетворяют принципу доминирования и являются противоречивыми, т. е.

Qik ≤ Qil, для i∈I1 и Qik ≥ Qil для j∈I2

В этом случае выбор одного из векторных критериев Qk или Ql в качестве лучшего (более предпочтительного) будет зависеть от индивидуальных предпочтений лица, принимающего решение. Для учета этого факта введем операцию бинарного отношения предпочтения >, которая позволяет проводить попарное сравнение противоречивых векторных критериев оптимальности. Так, отношение Qk > Ql означает, что Qk предпочтительнее (лучше), чем Ql, а отношение Qk < Ql означает, что Ql предпочтительнее Qk. Если ни одному из критериев оптимальности Qk или Ql нельзя отдать предпочтения, т. е. они являются я лица, принимающего решение, одинаковыми по важности, то они считаются эквивалентными между собой: Qk ~ Qд. Из отношения предпочтения между векторными критериями оптимальности однозначно следует соответствующее отношение предпочтения для точек, в которых они вычислены. Так, если Qk ≥ Qд, то xk ≥ хд. (Здесь отношение ≥ означает предпочтение или эквивалентность.)

При решении задач многокритериальной оптимизации часто возникает необходимость в преобразовании векторного критерия оптимальности Q = (Q1, Q2, …, Qs) с помощью оператора ψ = (ψ1, ψ2, …, ψs) в эквивалентный ему по важности вектор ψ(Q) = (ψ1(Q1), ψ2 (Q2), …, ψs (Qs)):

Q ~ ψ(Q). (2.12)

В. выражении (2.12) для некоторых i функция преобразования ψi может иметь вид: ψi(Qi) = Qi т. е. некоторые компоненты вектора Q могут входить в новый векторный критерий ψ(Q) без изменения. В силу эквивалентности векторов Q и ψ(Q) преобразование (ψ1, ψ2, …, ψs) называется допустимым преобразованием вектора Q, так как он сохраняет истинность отношений предпочтения для преобразованного вектора. Так, если для некоторый значений критерия оптимальности Qk, Ql∈DQ имеем Qk > Ql, то это отношение предпочтения сохраняется и для вектора ψ(Q): ψ(Qk) ≥ ψ(Ql). Наличие совокупности функций преобразования {ψi} позволяет строить новые векторные критерии оптимальности, эквивалентные по важности исходным, но более удобные с вычислительной точки зрения. Приведем некоторые примеры допустимых преобразований.

Преобразование ψi(Qi) = Qi2 позволяет заменить недифференцируемую функцию Qi = |gi(х)| эквивалентным ей по важности выражением ψi(Qi) = gi2(х), которое является дифференцируемой функцией. Преобразование ψi (Qi) = Ln Qi позволяет преобразовать невогнутую функцию в эквивалентную ей по важности вогнутую функцию. Например, для невогнутых функций

Qi(x) = exp(- ∑xk2) или Qi(x) = ∏gk(x)

эквивалентными им по важности соответственно будут выпуклые функции вида:

ψi(Qi) = — ∑xk2 и ψi(Qi) = ∑ ln gk(x).

В общем случае результаты сравнения векторных критериев по важности остаются неизменными при любом монотонном допустимом преобразовании вектора Q, т. е. если операторе представляет собой совокупность {ψi} монотонно-возрастающих функций.

Одним из применений допустимого преобразования ψ является нормализация частных критериев оптимальности, под которой понимается приведение их к единому безразмерному виду. Необходимость введения этой операции связана с тем, что частные критерии Qi(x) характеризуют физические свойства проектируемого устройства и могут измеряться как в различных масштабах, так и раз¬личных системах единиц. В этом случае в качестве функций преобразования ψi(Qi) используется положительное линейное преобразование:

ψi(Qi) = ciQi(x) + di, ci > 0. (2.13)

При решении практических задач значения коэффициентов ci и di в (2.13) могут быть выбраны, например, следующим образом:

ci = 1/(Qi+ — Qi*); di = — Qi*/(Qi+ — Qi*)

где

Qi* = Qi(xi*) = min Qi(x);

Qi+ = Qi(xi+) = max Qi(x).

Тогда

ψi(Qi) = (Qi(x) — Qi*)/(Qi+ — Qi*) = Qi (х), i = 1, 2, …, s. (2.14)

В этом случае частные критерии оптимальности Qi (х) при помощи нормализации оказываются приведенными к безразмерному виду, общему началу отсчета и единому интервалу изменения [0, 1]. При этом каждую компоненту ψi(Qi) = Qi(х) нормализованного вектора ψ(Q) можно интерпретировать как оценку потери оптимальности по i-му частному критерию. Действительно, Qi(х) = 0 в точке хi* по i-му критерию и Qi(х) = 1 в точке максимума xi+(х), т. е. при полной потере оптимальности. Тогда промежуточные значения:

0 < Qi(x) < 1

будут характеризовать степень удаления точки Qi (х) от минимального значения Qi* i-ro частного критерия оптимальности.

Для нормализованных частных критериев оптимальности Qi*(х) удобно ввести функцию полезности

ui(Qi*(x)) = 1 — Qi*(x), i = 1, 2,…, s, (2.15)

которая численным образом характеризует предпочтение i-го частного критерия. Из (2.15) видно, что функции ui(Qi*(x)) являются безразмерными, монотонными функциями, не зависящими от конкретного вида критерия Qi (х). При этом полезность 1-го критерия в точке минимума xf будет иметь максимальное значение ui(Qi*) = 1, а в точке максимума хi+ — наименьшее значение (uiQi*(x) = 0). При всех других значениях Qi*она будет линейно изменяться с изменением Qi*(x), отражая то свойство функций полезности, что полезность не может ухудшаться по мере уменьшения критерия оптимальности.

Введенное отношение предпочтения позволяет качественно отразить тот факт, что, например, векторный критерий Qk предпочтительнее с точки зрения лица, принимающего решение, чем векторный критерий Ql: Qk > Ql. Однако при этом возникают вопросы: какова полезность (важность) каждого векторного критерия оптимальности в виде численного значения. Вероятно, величина полезности для вектора Qk больше, чем для вектора Ql, но насколько? Для того чтобы ответить на этот вопрос, от отношения индивидуального предпочтения ≥ необходимо перейти к скалярной функции U (Q), для которой справедливо условие:

U (Qk) ≥ U (Ql) тогда и только тогда, когда Qk ≥ Ql (2.16)

Таким образом, вводя функцию U (Q), называемую функцией полезности, мы каждому векторному критерию Q∈DQ можем поставить в соответствие число U (Q), которое отражает численное значение полезности этого критерия в одной из шкал измерения (вес, стоимость, объем и т. п.). Этим самым функция полезности U (Q); удовлетворяющая условию (2.16), позволяет последовательно упорядочить по важности векторные критерии Q∈DQ с помощью шкал действительных чисел. Очевидно, что функция полезности U (Q) связывает между собой полезности частных критериев оптимальности:

U (Q) = U (u1(Q1), u2(Q2), …, us(Qs)) (2.17)

и тем самым представляет в силу условия (2.16) некоторый способ нахождения эффективной точки х°∈Dk путем решения задачи параметрической оптимизации вида:

max U (Q (х)) = max U (u1(Q1), u2(Q2), …, us(Qs))). (2.18)

Решение задачи (2.18) позволяет получить такую точку х°∈D, что соответствующий ей векторный критерий Q (х°) будет иметь максимальное значение полезности, т. е. вектор Q (х°) будет предпочтительнее любого другого векторного критерия из области критериев DQ.

Ответ на вопрос, существует ли такая функция U (Q), которая отображает множество векторных критериев оптимальности Q на действительную ось и удовлетворяет условию (2.16), дает теория полезности. Согласно этой теории функция (2.17), позволяющая качественную информацию об индивидуальных предпочтениях преобразовать в соответствующую количественную информацию о полезностях, существует и обладает следующими свойствами:

U (αQk + (1 — α) Ql) = αU(Qk) + (1 — α) U (Ql), 0 ≤ α ≤ 1; (2.19)
V(Q) = aU (Q) + b, а > 0. (2.20)

Соотношение (2.19) позволяет говорить о том, что функция полезности U (Q) обладает свойством линейности. Соотношение (2.20) означает, что функция полезности, удовлетворяющая условию (2.16), единственна с точностью до положительного линейного преобразования, т. е. различие между двумя функциями полезности определяется только различием в положении начала отсчета и в единицах масштаба измерения.

Доказательство теоремы существования функции полезности не является конструктивным, т. е. не позволяет построить конкретную функцию U (Q). В связи с этим в качестве последней на практике выбирают из физических, экономических и других аналогичных соображений некоторую непрерывную функцию, сохраняющую порядок в области критериев DQ:

U(Q) = F (ψ1u1(Q1(х))),…, ψs(us (Qs (х)))), (2.21)

где F; ψi, i= 1, …, s — монотонно-возрастающие функции.

Процедура образования функции полезности (2.21) называется свертыванием (объединением) векторного критерия оптимальности Q = (Q1, …, Qs). Выбор конкретного вида функции F и зависимостей ψi(ui(Qi (х))) позволяет получить самые различные выражения для функции полезности. Удачный выбор функций F и ψi во многом определяется содержательной постановкой задачи оптимального проектирования, наличием дополнительной информации о важности частных критериев оптимальности и знанием физических особенностей проектируемого устройства.
Рассмотрим в качестве функции полезности следующее выражение

U(Q)= max {∑λiui(Qi(x)) + λ0 }

где — область возможных изменений весовых коэффициентов λi, i = 0, 1, …, s. Из свойства (2.16) функции полезности следует, что наиболее предпочтительное значение векторного критерия оптимальности может быть получено из решения задачи оптимизации

max max {∑λiui(Qi(x)) + λ0}. (2.22)

Предположим, что функция полезности для i-го частного критерия оптимальности ui(Qi) определяются из выражения (2.15). Тогда нетрудно видеть, что экстремальная задача (2.22) сводится к задаче выбора такой точки х∈D, которая обеспечивает минимальное значение обобщенной функции цели

Ф(Q) = max {∑λiQi*(x) + λ0) (2.23)

В зависимости от наличия дополнительной информации о значениях весовых коэффициентрв λi, i = 0, 1, …, s, из (2.23) можно получить некоторые известные операции свертывания.

В том случае, когда множество Dλ состоит из единственного вектора λ, свертывание векторного критерия Q = (Q1, …, Qs) сводится к операции суммирования о известными весовыми коэффициентами

Ф(Q) = ∑λiQi*(x) + λ0. (2.24)

Когда о векторе λ известно, что он принадлежит области допустимых значений

Dλ = {λ| ∑(λii) = 1; λi≥0, i = 1,2, …, s; λ0 = 0}

то операция свертывания сводится к взятию максимума от взвешенных значений частных критериев оптимальности:

Ф(Q)= max (ρiQi*(х)), (2.25)

где ρi > 0, i = 1, 2, …, s, — постоянные коэффициенты. Для области допустимых значений

Dλ = {λ, λ0 = -1+ ∑λiQi0, λi≥0, i = 1,2, …, s}

операция свертывания сводится к операции разбиения результатов на удовлетворительные и не удовлетворительные Ф(Q), где Qi0 — заданное значение i-го критерия оптимальности, позволяющее считать его удовлетворительным при выполнении неравенства Qi* (x) ≤ Qi0; А — большое положительное число, означающее, что результат неприемлем, так как нарушилось хотя бы одно неравенство

Qi* (x) ≤ Qi0, i = 1, 2, …, s.

Система операций свертывания (2.24)—(2.26) является полной в том смысле, что с помощью повторения этих операций можно приближенно представить любую зависимость Ф (Q) обобщенной функции цели от заданной совокупности частных критериев оптимальности Qi (х), i = 1, 2, …, s.

При условии, что λ0 = 0, из (2.24) получаем аддитивный критерий оптимальности

Ф(Q) = ∑λiQi*(x). (2.27)

Здесь λi ≥ 0 являются весовыми коэффициентами, которые задают в количественной шкале предпочтение i-ro критерия по сравнению о другими критериями. Величина определяет важность i-го частного критерия оптимальности. При этом более важному критерию приписываются более высокий вес, а общая важность всех критериев принимается равной единице (∑λi = 1).

Обобщенная функция цели (2.27) может быть использована для свертывания векторного критерия оптимальности Q, если о его компонентах Qi известна следующая информация:

частные критерии количественно соизмеримы по важности, т. е. каждому из них можно поставить в соответствие некоторое число λi, которое численно характеризует его относительную важность по отношению к другим критериям;
частные критерии являются однородными, т. е. допускают количественное сравнение в одной размерности.

В этом случае для решения задачи векторной оптимизации (1.47)— (1.49) оказывается справедливым применение метода взвешенных сумм:

если допустимая область D является выпуклым множеством, а все частные критерии оптимальности Qi (х) — выпуклые функции, то для любой эффективной точки х°∈D существует такой вектор

λ (λi, i = 1, 2, …, s; ∑λi = 1), что
min {∑λiQi*(x)}. (2-28)

достигается в эффективной точке х°∈Dk. В тоже время для фиксированных значений вектора λ оптимальное решение задачи (2.28) является эффективной точкой.


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru