Образовательный блог — всё для учебы

Архив рубрики «Проектирование»

Метод поиска, реализующий процедуру выбора точек испытаний по формулам (3.8)—(3.9) (см. предыдущий пост) коэффициентами t_k*, которые вычисляются из выражений (3.37), называется методом Фибоначчи. Это название возникло в связи с тем, что стратегия поиска оптимального решения х* по данному методу, как нетрудно видеть, связана с использованием чисел Фибоначчи (3.29).
Прочитать остальную часть записи »

Задача минимизации одномерной унимодальной функции Q(х), определенной на интервале [а, b], связана с поиском оптимального решения х*:

Q(x*)= min Q(x). (3.1)

Из свойства унимодальности функции Q (х) следует, что с возрастанием переменной х функция Q (х) строго убывает при х ≤ х* и строго возрастает при х ≥ х*, т. е. унимодальная функция не должна иметь горизонтальных участков («плато»), хотя может быть не дифференцируемой, разрывной, неопределенной в некоторых точках и т. д. В начале поиска положение точки х* на интервале [а, b] неизвестно. Путем проведения в точках рассматриваемого интервала N испытаний требуется локализовать оптимальное решение х* в интервале [a_N, b_N] меньшей длины, чем исходный. При этом предполагается, что каждое испытание, связанное с вычислением значения функции Q (х), может быть выполнено без ошибки, либо последняя настолько мала, что ею можно пренебречь. В дальнейшем интервал [a_N, b_N] будем называть апостериорным интервалом неопределенности в отличие от исходного интервала [а, b], называемого априорным интервалом неопределенности.
Прочитать остальную часть записи »

Для неравноценных частных критериев Q_i, i = 1, …, s, значения весовых коэффициентов λ_i, i = 1, …, s, выбираются в соответствии с важностью критерия (более предпочтительному критерию соответствует большее значение весового коэффициента) таким образом, чтобы выполнялось условие

λ_i ≥ 0, i = 1, 2, .., s; ∑λ_i = 1. (2.81)

Прочитать остальную часть записи »

Идея этого метода заключается в том, что на каждом k-м шаге последовательной оптимизации вводится уступка ΔQ_k-1, характеризующая допустимое отклонение (k — 1)-го частного критерия от его минимального значения:

Q₁(x₁*) = min Q₁(x); Q_k(x_k*) = min Q_k(x), (2.45)

где

D_k = D∩D_k-1; D_k-1 = {x|Q_j(x) ≤ Q_j(x_j*) + ΔQ_j, j = 1, 2, …, k-1}.

Прочитать остальную часть записи »

Предположим, что информация о важности частных критериев оптимальности Q_i (х), i = 1, 2, …, s задана в виде ряда приоритетов — множества индексов J = (1, 2, …, s), упорядочивающих частные критерии в порядке убывания их важности:

Q₁ > Q₂ > … > Q_s (2.39)

Прочитать остальную часть записи »

Рассмотрим значения векторного критерия Q = (Q₁,…, Q_s) в точках х^k и х^l принадлежащие области компромиссов D_k:

Q^k = Q (х^k) = (Q₁^k, Q₂^k, …, Q_s^k) и Q^l = Q (х^l) = (Q₁^l, Q₂^l, …, Q_s^l). (2.11)

Прочитать остальную часть записи »

1. Причиной многокритериальности является необходимость обеспечения оптимальности проектируемого устройства при различных условиях его функционирования, т. е. обеспечение экстремальных значений критерия оптимальности при неопределенности условий, в которых приходится работать устройству. При этом неопределенность может иметь либо количественный характер, выраженный с помощью параметра v, что приводит к задаче оптимизации вида
Прочитать остальную часть записи »

Наиболее общей математической моделью принятия оптимального решения является задача многокритериальной оптимизации (1.47)— (1.49), в которой требуется найти минимум одновременно по всем компонентам векторного критерия Q = (Q₁, Q₂, …, Q_s). Естественно возникают вопросы: в чем природа такой модели принятия решения и насколько часто она встречается в задачах схемотехнического проектирования электронных схем. Для ответа на них рассмотрим различные классы задач оптимального проектирования и выясним причины, которые приводят к необходимости использовать там векторный критерий оптимальности.
Прочитать остальную часть записи »

Условия оптимальности для задачи выпуклого программирования (1.30) называются условиями Куна — Таккера и эквивалентны утверждению, что при движении в любом возможном направлении S из точки х* критерий оптимальности Q(x) не может быть уменьшен. Геометрическая интерпретация условий Куна—Таккера имеет следующий смысл: в точке х*∈D , являющейся оптимальным решением задачи выпуклого программирования (1.30), градиент выпуклой функции Q (х) является линейной комбинацией градиентов активных ограничений g_i (х) = b_i, i∈J^—, взятых с положительными коэффициентами u_i* > 0. Условие (1.78) называется условием дополняющей нежесткости и означает, что если некоторое из. неравенств является в точке х*∈D неактивным ограничением, то оно должно входить в условия Куна—Таккера с множителем u_i*, равным нулю, а для активных ограничений множители u_i* должны быть положительными.
Прочитать остальную часть записи »

Сформулируем теперь условия оптимальности для задачи условной оптимизации (1.32).

Предположим, что ограничения g_i (х) являются непрерывными дифференцируемыми функциями и уравнения связи g_i(х) =b_i, i = 1,2,…, m < n, могут быть разрешены относительно части переменных (не нарушая общности будем считать, что зависимыми переменными являются m Прочитать остальную часть записи »

Обобщая полученный результат (1.52) на многомерный случай, для задачи (1.29) безусловной минимизации многопараметричеекой унимодальной функции Q (х) можем сформулировать следующие условия оптимальности.

Для того чтобы точка х*∈Rⁿ являлась оптимальным решением (локальным минимумом) необходимо и достаточно, чтобы в этой точке градиент минимизируемой функции равнялся нулю, а ее гессиан был положительно определенной матрицей:
∇Q(x*) = grad Q(x*) = 0 или

∂Q/∂x_j, j = 1,2,…, n; (1.55)
x^TG(x*)x > 0 для любых х ≠ 0. (1.56)

Прочитать остальную часть записи »

Будем говорить, что задача параметрической оптимизации (1.24), представляющая собой обобщенную математическую модель принятия решения в задачах оптимального проектирования, является разрешимой, если критерий оптимальности Q (х) достигает своего минимального значения в некоторой внутренней или граничной точке х* допустимой области D. Как отмечалось выше, вектор х* называется оптимальным решением. Естественно возникает вопрос: «Какие условия должны выполняться в точке х∈D, чтобы она являлась оптимальным решением?» В общем случае, не имея информации о классе функций, образующих критерий оптимальности и ограничения, такие условия, называемые условиями оптимальности (необходимыми и достаточными условиями минимума), сформулировать трудно. Поэтому рассмотрим часто встречающиеся на практике классы моделей принятия решений, которые являются частным случаем задачи параметрической оптимизации (1.24).
Прочитать остальную часть записи »

В свою очередь обобщением задачи квадратичного программирования является задача геометрического программирования, в которой критерий оптимальности и ограничения представлены с помощью положительных полиномов (позиномов):

g_i(x) = ∑ c_ijx₁^α_ij1x₂^α_ij2…x_n^α_ijn (1.39)

Прочитать остальную часть записи »

Если в допустимой области D изменения управляемых параметров имеется только одно значение вектора х, то проблемы принятия решения не возникает. В тех же случаях, когда работоспособный вариант проектируемого устройства не единственен, для сравнения нескольких вариантов и выбора среди них наилучшего (в некотором смысле) необходимо ввести критерий оптимальности (функцию цели, критерий эффективности) Q (х), экстремальное значение (максимум или минимум) которого численным образом характеризует свойство одного из наиболее важных технико-экономических показателей проектируемого устройства.
Прочитать остальную часть записи »

Сеточный метод основывается на замене интервала [v^—, v⁺], на котором определена характеристика g (х, v), ε-сетью v_ε, состоящей из s равномерно расположенных точек v_i. Прочитать остальную часть записи »

Множество D называется допустимой областью изменения управляемых параметров х. Любой вектор х, принадлежащий допустимой области D (х∈D), определяет работоспособный (в смысле удовлетворения техническим требованиям, заданным системой неравенств (1.7)—(1.8)), вариант проектируемого устройства. По своей структуре допустимая область D может оказаться выпуклым или невыпуклым множеством, которое, в свою очередь, может быть односвязной или многосвязной областью.
Прочитать остальную часть записи »

Любая характеристика φ_i(х) проектируемого устройства, математическое описание которого задано соотношениями (1.5), полностью определяется вектором управляемых параметров х. В процессе проектирования стремятся выбрать численные значения составляющих этого вектора х_i, i = 1,2,…, n, таким образом, чтобы удовлетворить техническим требованиям, предъявляемым к проектируемой схеме. Эти требования весьма разнообразны и определяются многими условиями, среди которых можно отметить следующие:
Прочитать остальную часть записи »

Свойства, характеризующие влияние внешних условий на функционирование, проектируемого устройства, описываются внешними параметрами. Этими параметрами могут быть начальные состояния физической системы s(t₀), входные воздействия z (t), конкретные значения времени t_i или частоты ω_k, температура окружающей среды и т. д. Внешние параметры можно разделить на параметры, имеющие постоянные значения, и на параметры, которые являются случайными величинами. Случайные внешние параметры будем называть внешними факторами и обозначать вектором ξ = (ξ₁, ξ₂,…, ξ_l).
Прочитать остальную часть записи »

Процедуру построения функционально-структурной модели проектируемого устройства можно охарактеризовать следующей последовательностью действий:

— выбирается его принципиальная электрическая схема;

— элементы схемы представляются в виде двухполюсных и многополюсных компонент;
Прочитать остальную часть записи »

Процедуру представления электронной схемы в виде физической системы можно охарактеризовать следующей последовательностью действий:

— определяется цель и дается содержательная постановка задачи схемотехнического проектирования;

— перечисляются существенные свойства, характеризующие электронную схему;
Прочитать остальную часть записи »

Несмотря на всю сложность и разнообразие электронных схем (пассивные и активные фильтры, линейные транзисторные каскады, импульсные схемы, логические элементы ЭВМ и т. д.) в общем случае их можно рассматривать как электрические цепи с сосредоточенными параметрами, состояние которых полностью описывается векторами токов I и напряжений U. Такое представление позволяет интерпретировать конкретную электронную схему как физическую систему, состоящую из совокупности связанных между собой физических компонент (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности, транзисторов, диодов и т.д.). В свою очередь, каждая k-я компонента может быть также представлена в виде физической системы, образованной более простыми элементами, каждый из которых характеризуется совокупностью конструктивно-технологических и электрофизических параметров a_k, k = 1, 2,…, n.
Прочитать остальную часть записи »

Проблемы автоматизации проектирования технических устройств в последние годы привлекают внимание все большего числа исследователей. Развитие методологии, численных методов и алгоритмов оптимального проектирования (процесса выбора наилучшего с точки зрения технико-экономической эффективности устройства РЭА или ЭВА) оказывает решающее влияние на особенности систем автоматизированного проектирования (САПР), внедряемых в НИИ, КБ и на предприятиях.
Прочитать остальную часть записи »