Определение весовых коэффициентов относительной важности частных критериев оптимальности по матрице экспертных оценок

Для неравноценных частных критериев Qi, i = 1, …, s, значения весовых коэффициентов λi, i = 1, …, s, выбираются в соответствии с важностью критерия (более предпочтительному критерию соответствует большее значение весового коэффициента) таким образом, чтобы выполнялось условие

λi ≥ 0, i = 1, 2, .., s; ∑λi = 1. (2.81)

Предположим, что после проведения групповой экспертизы, в которой каждый из N экспертов назначает свои значения весовых коэффициентов, удовлетворяющие условию (2.81) (индивидуальная экспертиза может быть реализована, например, с помощью метода логического упорядочения f31), получена матрица экспертных оценок:


(2.82)

где λik— экспертная оценка значения относительной важности i-го частного критерия оптимальности, предложенная k-ым экспертом. Для назначения оптимально-компромиссных весовых коэффициентов λ*, выражающих «коллективное мнение», необходимо задать схему компромисса F (Λ, λ) и решить экстремальную задачу

F(Λ, λ*) = min F(Λ, λ), (2.83)

где

Dλ = {λ|λj ≥ 0, j = 1, 2, …, s; ∑λj = 1}

Здесь схема компромисса F (Λ, λ) является некоторой мерой близости между произвольным вектором λ∈Dλ и элементами матрицы (2.82). Если мерой близости F (Λ, λ) является функция

F(Λ, λ) = ∑ ∑ (λij — λj)2, (2.84)

то оптимальным решением задачи (2.83) является вектор средних значений по элементам строк матрицы (2.82):

λi* = 1/N ∑λij, i = 1, 2, …, s. (2.85)

Построим функцию Лагранжа

Ф(λ, α)= ∑∑ (λij — λi)2 + α(∑λi — 1).

Значения λ и α должны удовлетворять системе уравнений

∂Ф/∂λ = -∑ (λij — λi) + α = 0, i = 1, 2, …, s; (2.86)

∂Ф/∂α = ∑λi — 1 = 0. (2.87)

Из выражения (2.86) находим, что

λi = 1/N∑λij — α/2N, i = 1, …, s. (2.88)

Подставляя полученные значения из (2.88) в выражение (2.87), получаем, что α = 0. Откуда, согласно выражению (2.88), следует справедливость формулы (2.85). Что и требовалось доказать. На практике эксперты отличаются друг от друга квалификацией, опытом и т. п. Для учета этих факторов введем коэффициенты компетентности:

qk > 0, k = 1, 2, …, N; ∑qk=1. (2.89)

Тогда для случая неравнозначности мнений экспертов формула (2.85) может быть обобщена следующим образом:

λi = ∑λikqk, i = 1, 2, …, s,

или в векторной форме

λ = Λq. (2.90)

Выражение (2.90) означает, что «коллективное мнение» получается путем взвешенного суммирования индивидуальных экспертных оценок с учетом компетентности каждого эксперта.

Рассмотрим случай, когда коэффициенты компетентности q получаются путем обработки информации о том, насколько экспертные оценки λik, i = 1, …, s, указанные k-ым экспертом, согласуются с оценка¬ми других экспертов (λij, i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, N, j ≠ k).

На первом шаге (r = 1) будем считать, что все эксперты равноправны (qk‘ = 1/N, k = 1, 2, …, N) и «коллективное мнение» определяется по формуле (2.85). На каждом последующем шаге (r = 2, 3, 4, …) весовые коэффициенты λr будем оценивать с помощью итерационной процедуры:

λ’ = Λqr-1, (2.91)

а пересчет коэффициентов компетентности qr будем проводить с учетом вновь полученных значений λ’ по формуле

qr = 1/βr ΛTλr, (2.92)

где βr = ∑∑ λijλir — сумма компонент вектора ΛTλr. В связи с тем, что

ΛTλr = (λr)TΛ

подставляя в (2.91) вместо qr выражение (2.92), а в (2.92) вместо λr выражение (2.91), можем записать:

λ’ = — 1/βr ΛΛTλr-1, (2.93)

qr = — 1/βr ΛTΛr-1. (2.94)

Таким образом, обработка результатов групповой экспертизы (2.82) сводится к вычислениям по формулам (2.93)—(2.94). При этом условием сходимости этого итерационного процесса согласно теореме Перрона—Фробениуса является неразложимость матриц ΛΛT и ΛTΛ, что всегда имеет место, если λij > 0 для всех i = 1, …, s и j = 1, 2, …, N, i≠j.

Элементы bij = ∑λkiλkj матрицы ΛTΛ отражают степень близости оценок, которые указали i-ый и j-ый эксперты, и называются показателями взаимосвязи мнений экспертов. Значение элемента bij тем больше, чем чаще встречаются частные критерии Qk, для которых оба эксперта указали одинаково высокие оценки λki и λkj. Если значения λki и λkj сильно отличаются между собой, то значения элементов bij малы. Тогда ясно, что большее значение коэффициента компетентности qir получит тот эксперт, у которого оценки λki наиболее совпадают с оценками остальных экспертов λkj, j = 1, 2, …, N, j ≠ i.

В том случае, когда в качестве меры близости F (Λ, λ) выбирается функция

F (Λ, λ) = max max |λij — λi| (2.95)

экстремальная задача (2..83) является реализацией принципа гарантированного результата: «коллективное мнение» λ* об относительной важности компонент векторного критерия Q = (Q1, Q2, …, Qs) должно как можно меньше отличаться от значений оценок λi, j = 1, 2, …, N.


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru