Свертывание векторного критерия оптимальности методом выделения главного критерия

Предположим, что информация о важности частных критериев оптимальности Qi (х), i = 1, 2, …, s задана в виде ряда приоритетов — множества индексов J = (1, 2, …, s), упорядочивающих частные критерии в порядке убывания их важности:

Q1 > Q2 > … > Qs (2.39)

Отношение (2.39) указывает только качественное предпочтение между частными критериями: критерий Q1(х) более важен, чем критерий Q2(х); критерий Q2(х) более важен, чем критерий Q3(х) и т. д. Одним из способов свертывания частных критериев, упорядоченных по важности соотношение (2.39), является метод выделения главного критерия. Основная идея этого метода заключается в минимизации наиболее важного («главного») критерия Q1(х) при условии, что значения других критериев Qi(х), i = 2, 3, …, s, не превышают некоторых «пороговых» значений Qi0:

min Q1(x), (2.40)

где

D* = D ∩ D0; D0 = {x|Q0 (x) ≤ Qi0, i = 2, 3, …, s).

Нетрудно показать, что задача (2.40) эквивалентна задаче параметрической оптимизации:

min Ф(Q1(х), Q2(x), …, Qs(x)),

где обобщенный критерий оптимальности:

Ф(Q) = Q1(x), если max (Qi(x)/Qi0) ≤ 1,
A— в противном случае.

получается из обобщенной функции цели (2.23), если принять, что вектор весовых коэффициентов λ принадлежит области допустимых значений

Dλ = {λ|λ1 = 1; λ0 = — ∑λiQi0; λi ≥ 0, i = 2, 3, …, s.}

Основная трудность при применении метода выделения главного критерия (2.40) состоит в назначении пороговых значений Qi0.

Если после выделения главного критерия, предпочтение между частными критериями оптимальности Qi(х), i = 2, 3, …, s можно задать с помощью весовых коэффициентов

ρi > 0, i = 2, 3, …, s; ∑ρi = 1.

то пороговые значения Qi0 должны выбираться из условий:

ρi((Qi0 — Qi*)/(Qi+ — Qi*)) для всех i = 2, 3, …, s, (2.41)

где

0 < K0 ≤ 1; Qi+ = max Qi(x); Qi+ = min Qi(x).

При наличии информации о том, что после выделения главного критерия частные критерии Qi(х), i = 2, 3, …, s, становятся равноценными по важности, из соотношений (2.41) получаем, что пороговые значения Qi0 должны выбираться из условия:

(Qi0 — Qi*)/(Qi+ — Qi*) = K0, (2.42)

где

0 < K0 ≤ 1.

Таким образом, решение задачи векторной оптимизации (1.47)— (1.49) с помощью метода выделения главного критерия может быть сведено к следующей последовательности действий. Задается некоторое значение коэффициента K01, для которого из (2.41) определяются пороговые значения

Oi0 = K01 (Qi+ — Qi*)/ρi + Qi*, i = 2, 3, …, s. (2.43)

Для полученных пороговых значений Qi0 решается задача параметрической оптимизации (2.40). Если в процессе ее решения окажется, что область D* пуста, то выбирается новое значение коэффициента К02 > К01 и вся процедура поиска оптимального решения повторяется снова и т. д.

В общем случае процедура выбора наилучшего значения коэффициента К0 с одновременным решением задачи параметрической оптимизации (2.40) должна рассматриваться как двукритериальная задача оптимизации следующего вида:

min К0; min Q1(x),

где

D* (К0) = D ∩ D0(K0); D00) = {x|Qi(х) ≤ K0 (Qi+ — Qi*)/ρi + Qi*, i = 2, …, s}.

Другой способ учета информации о важности частных критериев оптимальности, заданной отношением предпочтения (2.39), заключается в поэтапном решении задачи параметрической оптимизации относительно каждого частного критерия.

Q1(x1*) = min Q1(x); Qk(xk*) =min Qk(x), k = 2, …, s, (2.44)

где

Dk = D∩Dk-1; Dk-1 = {x|Qj(x) = Qj (xk*), j = 1, 2, …, k — 1}.

Последовательностью задач параметрической оптимизации (2.44) реализует метод последовательной оптимизации частных критериев оптимальности с учетом жесткого приоритета. Это название связано с тем, что минимизация k-то частного критерия начинается только тогда, когда получены минимальные значения всех предыдущих (k — 1)-го частных критериев. Недостатком рассмотренного метода является то, что области удовлетворительных решений Dk, образующиеся сужающиеся подмножества:

D ⊃ D1 ⊃ D2 ⊃ … ⊃ Ds,

f
на r-м шаге могут выродиться в точку. Например, если r = 2, то задача минимизации будет решена только по наиболее важному критерию Q1 (х), а все остальные частные критерии Qi(х), i = 2, 3, в, не будут учтены. Поэтому этот метод не позволяет справедливо учитывать интересы менее важных критериев, так как не допускает их уменьшения, если это вызывает хотя бы незначительное увеличение более важных критериев.


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru