Образовательный блог – всё для учебы

Предположим, что информация о важности частных критериев оптимальности Q_i (х), i = 1, 2, …, s задана в виде ряда приоритетов — множества индексов J = (1, 2, …, s), упорядочивающих частные критерии в порядке убывания их важности:

Q₁ > Q₂ > … > Q_s (2.39)

Отношение (2.39) указывает только качественное предпочтение между частными критериями: критерий Q₁(х) более важен, чем критерий Q₂(х); критерий Q₂(х) более важен, чем критерий Q₃(х) и т. д. Одним из способов свертывания частных критериев, упорядоченных по важности соотношение (2.39), является метод выделения главного критерия. Основная идея этого метода заключается в минимизации наиболее важного («главного») критерия Q₁(х) при условии, что значения других критериев Q_i(х), i = 2, 3, …, s, не превышают некоторых «пороговых» значений Q_i⁰:

min Q₁(x), (2.40)

где

D* = D ? D₀; D₀ = {x|Q₀ (x) ? Q_i⁰, i = 2, 3, …, s).

Нетрудно показать, что задача (2.40) эквивалентна задаче параметрической оптимизации:

min Ф(Q₁(х), Q₂(x), …, Q_s(x)),

где обобщенный критерий оптимальности:

Ф(Q) = Q₁(x), если max (Q_i(x)/Q_i⁰) ? 1,
A_?— в противном случае.

получается из обобщенной функции цели (2.23), если принять, что вектор весовых коэффициентов ? принадлежит области допустимых значений

D_? = {?|?₁ = 1; ?₀ = – ??_iQ_i⁰; ?_i ? 0, i = 2, 3, …, s.

Основная трудность при применении метода выделения главного критерия (2.40) состоит в назначении пороговых значений Q_i⁰.

Если после выделения главного критерия, предпочтение между частными критериями оптимальности Q_i(х), i = 2, 3, …, s можно задать с помощью весовых коэффициентов

?_i > 0, i = 2, 3, …, s; ? ?_i = 1.

то пороговые значения Q_i⁰ должны выбираться из условий:

?_i((Q_i⁰ – Q_i^*)/(Q_i⁺ – Q_i^*)) для всех i = 2, 3, …, s, (2.41)

где

0 < K₀ ? 1; Q_i⁺ = max Q_i(x); Q_i⁺ = min Q_i(x).

При наличии информации о том, что после выделения главного критерия частные критерии Q_i(х), i = 2, 3, …, s, становятся равноценными по важности, из соотношений (2.41) получаем, что пороговые значения Q_i⁰ должны выбираться из условия:

(Q_i⁰ – Q_i^*)/(Q_i⁺ – Q_i^*) = K₀, (2.42)

где

0 < K₀ ? 1.

Таким образом, решение задачи векторной оптимизации (1.47)— (1.49) с помощью метода выделения главного критерия может быть сведено к следующей последовательности действий. Задается некоторое значение коэффициента K₀¹, для которого из (2.41) определяются пороговые значения

O_i⁰ = K₀¹ (Q_i⁺ – Q_i^*)/?_i + Q_i^*, i = 2, 3, …, s. (2.43)

Для полученных пороговых значений Q_i⁰ решается задача параметрической оптимизации (2.40). Если в процессе ее решения окажется, что область D* пуста, то выбирается новое значение коэффициента К₀² > К₀¹ и вся процедура поиска оптимального решения повторяется снова и т. д.

В общем случае процедура выбора наилучшего значения коэффициента К₀ с одновременным решением задачи параметрической оптимизации (2.40) должна рассматриваться как двукритериальная задача оптимизации следующего вида:

min К₀; min Q₁(x),

где

D* (К₀) = D ? D₀(K₀); D₀ (К₀) = {x|Q_i(х) ? K₀ (Q_i⁺ – Q_i^*)/?_i + Q_i^*, i = 2, …, s}.

Другой способ учета информации о важности частных критериев оптимальности, заданной отношением предпочтения (2.39), заключается в поэтапном решении задачи параметрической оптимизации относительно каждого частного критерия.

Q₁(x₁^*) = min Q₁(x); Q_k(x_k^*) =min Q_k(x), k = 2, …, s, (2.44)

где

D_k = D?D_k-1; D_k-1 = {x|Q_j(x) = Q_j (x_k^*), j = 1, 2, …, k – 1}.

Последовательностью задач параметрической оптимизации (2.44) реализует метод последовательной оптимизации частных критериев оптимальности с учетом жесткого приоритета. Это название связано с тем, что минимизация k-то частного критерия начинается только тогда, когда получены минимальные значения всех предыдущих (k — 1)-го частных критериев. Недостатком рассмотренного метода является то, что области удовлетворительных решений D_k, образующиеся сужающиеся подмножества:

D ? D₁ ? D₂ ? … ? D_s,

на r-м шаге могут выродиться в точку. Например, если r = 2, то задача минимизации будет решена только по наиболее важному критерию Q₁ (х), а все остальные частные критерии Q_i(х), i = 2, 3, в, не будут учтены. Поэтому этот метод не позволяет справедливо учитывать интересы менее важных критериев, так как не допускает их уменьшения, если это вызывает хотя бы незначительное увеличение более важных критериев.

1. Метод последовательных уступок.
2. Упорядочение векторных критериев оптимальности при помощи обобщенной функции цели
3. Задача квадратичного программирования
4. Определение весовых коэффициентов относительной важности частных критериев оптимальности по матрице экспертных оценок
5. Условия оптимальности для некоторых классов моделей принятия решений
6. Условия оптимальности для задачи условной оптимизации
7. Условия Куна-Таккера для условной оптимизации
8. Четыре причины многокритериальности в задачах
9. Математические модели принятия решений
10. Природа многокритериальности в задачах оптимального проектирования
11. Геометрическая интерпретация задач поиска и оптимизации
12. Многомерный случай для задач безусловной минимизации
13. Постановка задачи поиска и оптимизации проектных решений
14. Критерии Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара
15. Оптимизация надежности объекта как системы элементов
16. Преобразование задачи нелинейного программирования при помощи функций штрафов в последовательность задач безусловной оптимизации
17. Моделирование объектов и генерация кодов при создании БД