Метод последовательных уступок

Идея этого метода заключается в том, что на каждом k-м шаге последовательной оптимизации вводится уступка ΔQk-1, характеризующая допустимое отклонение (k — 1)-го частного критерия от его минимального значения:

Q1(x1*) = min Q1(x); Qk(xk*) = min Qk(x), (2.45)

где

Dk = D∩Dk-1; Dk-1 = {x|Qj(x) ≤ Qj(xj*) + ΔQj, j = 1, 2, …, k-1}.

Введение уступки ΔQk-1 no (k — 1)-му наиболее важному критерию позволяет улучшить значение k-го менее важного частного критерия. При этом для каждого k-го критерия видно, ценой каких уступок по (к — 1)-му критерию приобретается тот или иной выигрыш.

Введение уступок ΔQk в виде относительных отклонений частного критерия Qk (х) от его минимального значения Qk* = Qk (xk*):

ωk = (Qk (x) — Qk*)/Qk*, k = 1, 2, …, s,

позволяет свертывание векторного критерия оптимальности реализовать с помощью метода минимизации уступок:

min {∑ckωk} (2.46)

при условии, что

(Qk (х) — Qk*)/Qk* ≤ ωk, k = 1, 2, …, s,

где ck > 0 — весовые коэффициенты, определяющие важность уступки по k-му частному критерию оптимальности.

В частном случае равноценных и одинаковых уступок (ck = 1/s и ω = ωk — для всех k = 1, 2, …, s) задача параметрической оптимизации (2.46) принимает следующий вид:

min ω (2.47)

при условии, что

(Qk (х) — Qk*)/Qk* ≤ ω, k = 1, 2, …, s.

Решение задачи (2.47) позволяет получить не улучшаемое решение х°∈Dk, которое минимизирует общий верхний предел ω для относительных отклонений каждого частного критерия оптимальности Qk (х) от его минимального возможного значения Qk* = Qk (xk*).

Для несоизмеримых между собой по важности частных критериев оптимальности можно предположить, что они являются равноценными (одинаковыми по важности) для лица, принимающего решение. В этом случае естественным является стремление уравнять все значения однородных частных критериев между собой:

min Qk(x), (2.48)

при условии, что

Q1(x) = Q2 (x) = … = Qk (x) = … = Qs (x).

Недостатком этого метода, называемого методом равенства частных критериев, является то, что в некоторых случаях задача (2.48) может оказаться неразрешимой либо ее оптимальное решение х* не будет являться эффективной точкой для исходной задачи векторной оптимизации.

Свертывание однородных частных критериев оптимальности, относительно которых имеется информация о том, что они являются равноценными по важности, может быть осуществлено при помощи аддитивного критерия оптимальности (2.27) с одинаковыми весовыми коэффициентами λi = 1/s, i = 1, 2, …, s:

min {1/s ∑Qi(x)} (2.49)

Оптимальное решение задачи (2.49) обеспечивает получение не улучшаемого решения для исходной задачи векторной оптимизации, которое является «наилучшим в среднем» по всем частным критериям. Для получения не улучшаемого решения задачи векторной оптимизации, которое обеспечивает наилучшее приближение для частного критерия Qk (х), наиболее удаленного от своего минимального значения
Qk*, целесообразно применять метод гарантированного результата;

min max |(Qk(x)-Qk*)/Qk*. (2.50)

Оптимальное решение задачи (2.50) обеспечивает наибольшую равномерность всех частных критериев оптимальности за счет подтягивания «наихудшего критерия» (критерия с наибольшим значением) до уровня остальных критериев. Нетрудно видеть, что задача (2.50) эквивалентна задаче параметрической оптимизации (2.47), реализующей метод минимизации равноценных и одинаковых уступок.

В том случае, когда о весовых коэффициентах λi однородных частных критериев Qi (х) известно только то, что они принадлежат множеству

Dλ = {λ|λi ≥ λ ≥ 0, i = 1, 2, …, s; ∑λi = R},

свертывание векторного критерия оптимальности Q (х) = (Q1 (х), …, Qs (х)) можно проводить с помощью принципа гарантированного результата:

min max Ф(Q(x), λ), (2.51)

где Ф (Q (х), λ) — обобщенный критерий оптимальности.

Оптимальное решение х* экстремальной задачи (2.51) обеспечивает наименьшее значение обобщенного критерия оптимальности Ф для самого неблагоприятного сочетания весовых коэффициентов (λ1, …, λs), которые в свою очередь зависят от значений частных критериев Qi (х), i = 1, …, s, вычисленных в точках х∈D. В общем случае зависимость весовых коэффициентов λi от значений векторного критерия получить представляется невозможным. Поэтому рассмотрим решение задачи

max Ф(а(х), λ) (2.52)

для конкретных типов обобщенного критерия оптимальности Ф при фиксированных значениях варьируемых параметров х∈D.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru