Геометрическая интерпретация задач поиска и оптимизации

Для лучшего уяснения сущности задач поиска и оптимизации проектных решений целесообразно дать геометрическую интерпретацию этих задач. Можно рассмотреть в качестве критерия оптимальности функцию двух переменных – уравнение эллиптического параболоида

Q = x12/2p + x22/2q, p > 0, q > 0 (1)

Для конкретности можно взять р = 1,5 ; q = 2,5 , тогда функция цели

Q = x12/3 + x22/5 (2)

Ограничения на изменения параметров следующие:

2x1 + x2 ≤ 2.0;
x1 ≥ -0.5;
x2 ≥ -1.0.

Они выделяют на плоскости x1, x2 область допустимых значений параметров S, показанную на рис.1.

Геометрическое представление задач оптимизации
Рис.1. Геометрическое представление задач оптимизации

Плоскости Q = Qi = const > 0, параллельные плоскости x1, x2, пересекают параболоид (1) [(2)] по эллипсам

Qi = x12/2p + x22/2q (3)

и образуют так называемые линии равного уровня (рис.1).

В представленном примере функция цели в области допустимых значений параметров имеет один глобальный минимум Q = 0 при x1 = x2 = 0 и несколько локальных максимумов, один из которых Q = 1,88 ( x1 = – 0,5 и x2 = 3,0 ) является глобальным. Наличие ограничений позволяет говорить только об условных максимумах и минимумах в пределах области S.

Распространяя рассмотренный двумерный пример на более общий случай, можно говорить о том, что ограничения, выделяют область S в n-мерном пространстве параметров x1, x2, … , xn,.

Любая точка в этой области определяет допустимый вариант проекта, который, в свою очередь, характеризуется некоторым значением функции цели.

Подход к решению задач поиска и оптимизации проектных решений во многом определяется особенностями математического описания объектов проектирования, совокупности накладываемых ограничений, поведения функции цели в области допустимых значений параметров. Поэтому необходимо рассмотреть особенности ЭМУС как объектов поиска в оптимизации проектных решений.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru