Ортогональное центральное композиционное планирование

Одним из планов второго порядка является ортогональное центральное композиционное планирование (ОЦКП). Требование к составлению матрицы X, обеспечивающее диагональность матрицы С = ХT X, для ОЦКП сохраняется. В ортогональном центральном композиционном планировании к ядру, представляющему собой план ПФЭ 2n, добавляется центральная точка (хi= 0, i = 1, 2,…, n) и по две так называемые «звездные точки» для каждого фактора (хi = ±а, хi = 0 при j не равном i). При этом в каждой плоскости, проходящей через центр и содержащей ось Y и координатную ось i-го фактора, оказываются три значения фактора х, (-α, 0, +α) и три соответствующих значения Y. В результате общее число опытов в ОЦКП составит
N= 2n + 2n + 1, т.е. будет существенно меньше, чем, например, в плане ПФЭ 3n при n > 2.
Чтобы матрица второго порядка была ортогональной требуется выполнение условия


(1)

для любых j > 0, в частности, и для значений j, соответствующих квадратам факторов. В матрице планирования квадраты дают положительное число и их сумма в столбце не может равняться нулю. Чтобы удовлетворить условию выше, вводят преобразование квадратов факторов:




где а — постоянная, не зависящая от u.

Подставляя это преобразование в (1), получаем:



Из последнего выражения следует



И тогда преобразование квадратичных членов будет иметь вид




и условие диагональности для преобразованных квадратичных членов запишется в виде


Показано, что это условие будет выполнено при величинах звездного плана а, приведенных ниже:



Теперь можно дать матрицу планирования для ортогонального центрального композиционного планирования при n = 2. Рассматриваем аппроксимирующий полином




или с учетом преобразованных квадратичных членов



Если раскрыть скобки, то получим



Сначала построим план ПФЭ 22. Коэффициенты вычисляются по формуле





Таблица 5.1



В результате:



Проверка близости Y и Y* в нулевой точке (см. пятую строку в матрице) |Y-Y*| =3 — аппроксимация очень грубая.

Переходим к плану второго порядка — ОЦКП. Для этого достроим план — к четырем опытам ПФЭ 22 добавим 2n = 4 опыта в «звездных» точках при а = 1 и еще опыт в нулевой точке (см. табл. 5.1, пятая строка), т.е. всего N=4+4+1=9.

В рассматриваемом примере



В результате матрица ортогонального центрального композиционного планирования, представленная в табл. 5.2, имеет вид.

Таблица 5.2
Матрица планирования ОЦКП



После вычисления коэффициентов получаем




или


Сравнение значений Y*, которые дал опыт, со значениями Y, полученными по аппроксимирующему полиному, показывает, что расхождение здесь много меньше.


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru