Образовательный блог – всё для учебы

Одним из планов второго порядка является ортогональное центральное композиционное планирование (ОЦКП). Требование к составлению матрицы X, обеспечивающее диагональность матрицы С = Х^T X, для ОЦКП сохраняется. В ортогональном центральном композиционном планировании к ядру, представляющему собой план ПФЭ 2ⁿ, добавляется центральная точка (х_i= 0, i = 1, 2,…, n) и по две так называемые «звездные точки» для каждого фактора (х_i = ±а, х_i = 0 при j не равном i). При этом в каждой плоскости, проходящей через центр и содержащей ось Y и координатную ось i-го фактора, оказываются три значения фактора х, (-α, 0, +α) и три соответствующих значения Y. В результате общее число опытов в ОЦКП составит
N= 2ⁿ + 2n + 1, т.е. будет существенно меньше, чем, например, в плане ПФЭ 3ⁿ при n > 2.
Чтобы матрица второго порядка была ортогональной требуется выполнение условия

(1)

для любых j ≠ 0, в частности, и для значений j, соответствующих квадратам факторов. В матрице планирования квадраты дают положительное число и их сумма в столбце не может равняться нулю. Чтобы удовлетворить условию выше, вводят преобразование квадратов факторов:

где а — постоянная, не зависящая от u.

Подставляя это преобразование в (1), получаем:

Из последнего выражения следует

И тогда преобразование квадратичных членов будет иметь вид

и условие диагональности для преобразованных квадратичных членов запишется в виде

Показано, что это условие будет выполнено при величинах звездного плана а, приведенных ниже:

Теперь можно дать матрицу планирования для ортогонального центрального композиционного планирования при n = 2. Рассматриваем аппроксимирующий полином

или с учетом преобразованных квадратичных членов



Если раскрыть скобки, то получим



Сначала построим план ПФЭ 2². Коэффициенты вычисляются по формуле

Таблица 5.1

В результате:

Проверка близости Y и Y* в нулевой точке (см. пятую строку в матрице) |Y-Y*| =3 — аппроксимация очень грубая.

Переходим к плану второго порядка — ОЦКП. Для этого достроим план — к четырем опытам ПФЭ 2² добавим 2n = 4 опыта в «звездных» точках при а = 1 и еще опыт в нулевой точке (см. табл. 5.1, пятая строка), т.е. всего N=4+4+1=9.

В рассматриваемом примере

В результате матрица ортогонального центрального композиционного планирования, представленная в табл. 5.2, имеет вид.

Таблица 5.2
Матрица планирования ОЦКП

После вычисления коэффициентов получаем

или

Сравнение значений Y*, которые дал опыт, со значениями Y, полученными по аппроксимирующему полиному, показывает, что расхождение здесь много меньше.

Похожие записи

1. Дробный факторный эксперимент
2. Полный факторный эксперимент
3. Основы факторного планирования эксперимента
4. Способы задания графов и операции над графами
5. Стандартизованные формы представления моделей
6. Z – преобразование
7. Матричное представление факторного планирования эксперимента
8. Математические модели непрерывных динамических систем
9. Модели в пространстве состояний
10. Инструментальное средство автоматизации моделирования непрерывных динамических систем
11. Модель в переменных состояния
12. Теоремы об устойчивости по первому приближению
13. Квазиньютоновские методы минимизации
14. Применение ЭВМ при решение системы линейных уравнений
15. Ответы на вопросы по физике
16. Каноническая форма уравнений состояния
17. Матричная теорема Кирхгофа о деревьях