Шкала мощностей

Пусть А есть некоторое множество и P(A) есть множество всех подмножеств множества А. Очевидно, что A⊆P(A) и потому мощность |A|≤|P(A)|.

Теорема: (Кантора). |A|<|P(A)|.
Доказательство: Покажем, что |A|≠|P(A)|. Допустим противное. Мощность |A|=|P(A)|. Тогда существует φA→P(A). Пусть множество А1={a принадлежит множеству А: а принадлежит множеству &phi(а)} , А2={a принадлежит множеству А: а не принадлежит множеству φ(а)}, тогда А2=А — А1. Множество А2 принадлежит P(A). φ(b) для некоторого b из множества А.

Каждый элемент из А попадает либо в А1, либо в А2, b принадлежит φ(b) = A2.

Но b∈A1 по построению А1. Противоречие: b принадлежит A1 и A2. Если b принадлежит A2, то b не принадлежит φ(b) = A2 . Противоречие: b принадлежит A2 и не принадлежит A2 одновременно. Следовательно, наше предположение |A| = |P(A)|неверно и потому мощности не равны и |A| < |P(A)|. Замечание: Иногда множество P(A) всех подмножеств множества А обозначается через 2A, тогда |P(A)| через 2|A|. Тогда по теореме |A| < 2|A|. По теореме Кантора, начиная от множества А, можно построить возрастающую последовательность кардинальных чисел: |A| < 2|A| < 22|A|<.... Начиная с множества натуральных чисел N, можно построить возрастающую последовательность кардиналов. Она обозначается N0 (алеф «ноль»).
N0 < 2N0 = C = N1 < 2N1 = N2 < 2N2 = N3 < ... , где N0, N1=C, N2=2C, N3=22 (N – алеф, С – готическое «це») есть последовательная счетная мощность, континуум, гипер-континуум, гипер-гипер-континуум. Кантор поставил вопрос о существовании промежуточной мощности между счетной и континуумом и о существовании промежуточной мощности между N0 и N1 (континуум гипотезы). Гедель и Коэн показали, что обе гипотезы не могут быть доказаны (Гедель) и опровергнуты (Коэн) в аксиоматической теории множеств, то есть обе гипотезы не зависят от аксиом теории множеств.


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru