Примеры универсальных алгебр, подалгебры, гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Пусть А есть произвольное множество. n- местная операция над А есть функция (отображение) f: An → A, An = A⋅…⋅A . Ноль — арная операция на А есть элемент из А. Пусть n(f) есть местность (арность) операции на f. Универсальная алгебра есть система U = (A, Ω), где А есть некоторое множество, Ω={fini(x1,…,xn): i=1,2,…}. Тип универсальной алгебры U есть последовательность (n1, n2, ..) арностей функций fi. Сигнатура есть множество Ω символов операций из Ω.

Определение: Алгебра U=(A,Ω) называется конечной, если множество А конечно, и конечного типа, если множество конечно.

Пример:
1. Система (N,{+}) с операцией сложения натуральных чисел есть универсальная алгебра типа 2 сигнатуры {+}.
2. Система (Z, {+,*}) с операциями сложения и умножения целых чисел Z есть универсальная алгебра типа (2,2), сигнатуры {+,*}.
3. Система (Q,{+,*,-,/}) с операциями сложения и т.д. есть универсальная алгебра типа (2,2,2,2), сигнатуры {+,*,*,/}. Операция деления не всюду определена.
4. Система (R,{+,*,-,/, ↑1,↑2,…,↑n,..}) с операциями сложения, умножения, вычитания, деления, возведение в степень 1,…,n,… есть универсальная алгебра типа (2,2,2,2,1,1,1…), сигнатуры .
5. Булева алгебра ({1,0},{&,∨,→,¬}) есть универсальная алгебра типа (2,2,2,1), сигнатуры {&,∨, →,¬}.

Определение: Пусть U=(A,Ω) есть алгебра. Суперпозиция над Ω определяется по индукции следующим образом:
1) Всякая функция из Ω есть суперпозиция над Ω.
2) Если функция из f(x1, .., xn)∈Ω и каждая из g1,…,gn есть либо суперпозиция над Ω, либо переменная, то f(g1,…,gn) есть суперпозиция над Ω.

Замечание: Суперпозиция над Ω есть обычная подстановка функции из Ω. Пусть S(x1,…,xn) есть суперпозиция над Ω в алгебре U=(A,Ω) и элементы a1,…,an∈A, тогда S(a1,…,an) есть значение суперпозиции S на a1,…,an.

Определение: Пусть U=(A,Ω) есть алгебра и A1⊆A есть непустое подмножество из А, тогда [A]f есть замыкание множества A1 по n-арной операции f∈Ω, если:
1) A1⊆[A1]f
2) ∀a1,..,an∈A1, f(a1,..,an)∈[A1]f
3) ∀a∈[A1]f (a∈A1 если существует суперпозиция g(y1,…,ym) на {f}, ∃b1,..,bm∈A1, что g(b1, …,bm)=a).
A1 замкнуто в А, если [A1]=A.

Замечание: Замыкание A1 в алгебре U есть множество всех значений всех суперпозиций с любыми аргументами из A1.
1. A1⊆[A1].
2. [[A1]]=[A1].
3. A1⊆A2 → [A1]⊆[A2].

Определение: Множество A1 замкнуто относительно операции f, если A1=[A1].

Определение: Пусть U=(A,Ω) есть алгебра, и A1⊆A — непустое подмножество в А. Множество A1 есть замыкание множества A1 в алгебре U1 если:
1. A1⊆[A1].
2. ∀fn⊆Ω для ∀a1,..,an∈A1 f(a1,..,an)∈[A1] .
3. ∀a∈[A1] (a∈A1 или существует суперпозиция g(y1,..,ym над Ω, ∃b1,..,bm∈A1).

Замечание: Другими словами: множество [A1] есть замыкание множества A1 в алгебре U, если A1⊆[A1] или для любой суперпозицией над Ω всякое ее значение для всяких элементов A1 входит в [A1. Алгебра U1 = (A1,Ω) есть подалгебра U, если A1 замкнуто в U, A1=[A1]. Подалгебра U1=(A1,Ω) называется подалгеброй, порожденной системой генераторов A1.

Пример: Система (N,{+}) (N-множество натуральных чисел). Множество четных чисел N2 есть подалгебра в алгебре (N,{+}).

Теорема: Если множество {Ui=(Ai,Ω) таких, что i∈I} есть семейство подалгебр алгебры U=(A,Ω), то непустое пересечение (∩Ai, Ω) есть подалгебра алгебры U.

Теорема: Подалгебра U[A1]=([A1], Ω) алгебры U=(A,Ω) есть пересечение UD=(∩Bi, Ω), Ui(Bi, Ω), i∈I. Все подалгебры алгебры U, для которых A1⊆B1.

Гомоморфизм универсальных алгебр

Пусть UA = (A, {fimi: i=1,2,..}), UB=(B, {gimi: i=1,2,..}), есть две универсальные алгебры одного типа (n1,n2,…). Отображение φi A→B есть гомоморфизм алгебры UA в алгебру UB, если функция φ сохраняет операции в UA, т.е. для ∀a1,..,ani∈A для любой i=1,2,… φ(fini(a1,..,ani))=gini(φ(a1),…,φ(ani)). Взаимнооднозначный гомоморфизм UA и UB есть изоморфизм. Изоморфизм UA в себя есть автоморфизм.

Замечание: Теория универсальных алгебр изучает главным образом абстрактные свойства алгебр, т.е. свойства, сохраняемые при гомоморфумах, изоморфумах, автоморфумах.

Пример: Пусть U1=(R+,{*}) и U1=(R,{+}) есть две алгебры, определенные на подмножествах вещественных чисел. Взаимнооднозначное отображение φ(x) = ln x: R+→R есть изоморфизм из U1 в U2, ибо φ(x,y) = ln (x*y) = ln(x) + ln(y) = φ(x) + φ(y).

Теорема: Гомоморфное отображение одной алгебры в другую алгебру, образ подалгебры и полный прообраз подалгебры есть подалгебры.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru