Нормальные подгруппы, фактор группы, теорема групповом гомоморфизме

Определение: Гомоморфизм группы G в группу H есть отображение φ: G→H, для которого φ(g1*g2) = φ(g1)*φ(g2), ∀g1, g2∈G. Изоморфизм есть взаимно однозначный гомоморфизм. Афтоморфизм есть изоморфизм группы в себя.

Определение: Ядро гомоморфизма φ: G→G’ есть множество Kern φ = φ-1(e’) преобразованной единицы e’ в G’ при гомоморфизме φ.

Утверждение: Ядро Kern φ есть нормальная подгруппа в G.

Определение: Подгруппа H в группе G есть нормальная подгруппа, если H*g = g*H.

Утверждение: Деление группы G на смежные классы по подгруппе H есть эквивалентность, устойчивая на G.

Теорема (о групповом гомоморфизме): Если отображение φ: G→G’ есть гомоморфизм группы G на группу G’ то фактор — группы G по ядру гомоморфизма φ изоморфна в группе G’, то есть G/Kern φ ≅ G’, обратно: если G есть группа, и H — нормальная подгруппа в G, то отображение φ: G→G/H с φ(g) = g*H есть гомоморфизм, для которого ядро гомоморфизма совпадает с нормальной подгруппой H, то есть Kern φ = H.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru