Нормальное распределение (закон Гаусса) – теория вероятностей

Закон Гаусса является одним из наиболее распространенных в теории надежности. Нормальное распределение оказывается справедливым для очень многих явлений в силу действия центральной предельной теоремы, сформулированной Ляпуновым: если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то величина Х имеет распределение, близкое к нормальному.

В частности этому закону подчиняются ошибки измерений.

В теории надежности нормальное распределение используют например, для описания закономерностей отказов, вызванных износом и старением, когда отказ как случайное событие определяется большим числом независимых и относительно слабых воздействий.

Время восстановления ремонтируемых изделий в ряде случаев приближенно распределено по нормальному закону. Иногда приближенно распределяется по нормальному закону наработка до отказа невосстанавливаемых объектов.

Плотность вероятности отказа при нормальном распределении определяется зависимостью

a(t) = (1/[σ√(2π)])exp(-(t-T)2/2σ2)

где Т – математическое ожидание времени t отказа;
σ — среднее квадратичное отклонение.

Максимум плотности вероятностей достигается при t=T и имеет значение 1/[σ√(2π)].

Вероятность отказа за время t при нормальном распределении находят по соотношению

Q(t) = ∫a(t)dt = 1/[σ√(2π)] ∫exp(-(t-T)2/2σ2)dt

Обычно вводят вспомогательную переменную u = (t-T)/σ и выполняют вычисления с помощью функции Ф(u) = (1/√(2π))∫exp(-u2/2)du ,
для которой составлены таблицы, причем
Ф(-u)=-Ф(u); Ф(0)=0; Ф(∞)=0,5.

Вероятность отказа тогда равна Q(t)=0,5+ Ф(u), а вероятность безотказной работы P(t)=1-Q(t)=0,5 — Ф(u).

Интенсивность отказов при нормальном распределении монотонно нарастает, что объясняется во многих случаях увеличением роли износа по мере роста наработки и является характерным признаком распределения отказов по нормальному закону. После достижения t=T значения интенсивности a(t) начинают приближаться к асимптоте y = (t-T)/σ. Угол наклона этой асимптоты dy/dt = 1/σ. Следовательно, чем меньше среднеквадратичное отклонение σ, т.е. чем плотнее сгруппированы вероятности отказов вблизи математического ожидания T, тем резче нарастает интенсивность отказов после наработки t=T.


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru