Мощность множества. Кардинальные числа.

Определение: Функция φ : А→В есть взаимно однозначное соответствие, если

1) для любого b существует a принадлежащее множеству А, такое, что &#966(a)=b;

2) для любых a1, a2 принадлежащих множеству А, таких, что a1≠a2 → &#966(a1)≠&#966(a2).

Замечание: Последнее условие может быть записано, как 2’) для любых a1, a2 принадлежащих множеству А, таких, что &#966(a1)≠&#966(a2) → a1≠a2.

Определение: Множества А и В эквивалентны, если между А и В можно установить взаимно однозначное соответствие.

Отношение эквивалентности множеств обладает следующим свойством:

1) А~A (рефлексивность);
2) А~B→B~A (коммутативность);
3) A~B&B~C→A~C (транзитивность).

Замечание: Отношение взаимной однозначности между множествами есть обычное отношение эквивалентности.

Определение: Кардинальное число или кардинал есть символ, приписываемый каждому множеству из классов всех попарно эквивалентных множеств.

Мощность множества А (card(A), |A|) есть кардинальное число, приписываемое классу всех множеств, эквивалентных множеству А.

Мощности конечных множеств называются конечными (финитными) кардиналами. Мощности бесконечных – трансфинитными кардиналами. A~B→|A|=|B|.


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru