Группы, свойства групп, циклическая группа и ее генератор
19.02.2013 |Определение: Группа G есть универсальная алгебра (G,{*, ¬,e}) с бинарной операцией умножения, унарной операцией x-1: S → S, и выделенном элементом единицей e, удовлетворяющей следующим аксиомам:
1) ∀x, y, z ∈ G, x*(y*z) = (x*y)*z, .
2) x*x-1 = x-1*x = e.
3) x*e = e*x = x.
Группа коммутативна (Абелева), если выполняется: операция умножения коммутативна.
4) x*y = y*x.
Замечание: Пресечение групп, будучи пересечением универсальных алгебр, есть снова группа.
Определение: Множество H⊆G есть полугруппа в группе G, если H есть группа по отношению к операции, определенной в G.
Замечание: Подгруппа группы G есть подалгебра в алгебре G.
Смежные классы
Пусть H есть подгруппа группы G и элемент g∈G.
Определение: Множество H*g = {h*g: h∈H} называется левым смежным классом в группе G по подгруппе H.
g*H = {g*h, h∈H} есть правый смежный класс.
Замечание: для коммутативной группы: H*g = g*H.
Конечные группы и теорема Лагранжа
Определение: Группа конечна, если множество её элементов конечно. Порядок конечной полгруппы есть число её элементов.
Теорема (Лагранжа): Порядок подгруппы H конечной группы G делит порядок группы G.
Замечание:
1) Индекс [G:H] есть число смежных классов K.
2) Операция умножения в группе индуцирует операцию умножения на классах смежности в группе по подгруппам, при этом множество классов смежности, с определенной на нем операцией, образует группу, называемую фактор – группой группы G по подгруппе H.
Циклические группы
Пусть G есть группа и a∈G. Определим натуральную степень an = a*a*..*a -n раз. Пусть a0 = e и a-n = (a-1)n.
Определение: Множество G0 = {an; n ∈ Z} есть Абелева группа, называемая циклической группой, порожденной генератором a. Группа G циклична, если для некоторого её элемента a G=Ga.
Замечание:
1) В группе G степень an = a*a*..*a — n раз, a0 = e, a-n = (a-1)n
2) Множество <a>={an: n∈Z} образует Абелевую группу порожденную элементом a. Множество <a> есть подгруппа группы G.
Определение: Группа G называется циклической, если для некоторого элемента a∈G группа G=<a>. Элемент a генератором группы G. Порядок ord(a) элемента группы есть порядок циклической подгруппы <a>, порожденной элементом a (порядок группы есть число её элементов). Если подгруппа <a> бесконечна, то полагают ord(a) = ∞.
