Дисперсия, среднее квадратическое отклонение

Кроме характеристик положения употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты.

Чаще всего на практике применяют моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом s–го порядка прерывной случайной величины X называется сумма вида:

αs[X] = ∑xispi

Для непрерывной случайной величины X начальным моментом s-го порядка называется интеграл

αs[X] = ∫xsf(x)dx

Очевидно, что математическое ожидание представляет собой не что иное, как первый начальный момент случайной величины X.

Общее определение начального момента s–го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин:

αs[X] = M[Xs]

т.е. начальным моментом s–го порядка случайной величины X называется математическое ожидание s–й степени этой случайной величины.
Введем понятие центрированной случайной величины.

Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием mx.

Центрированной случайной величиной X*, соответствующей величине X, называется отклонение случайной величины X от ее математического ожидания: X* = X — mx.

Центрирование случайной величины равносильно переносу начала координат в среднюю центральную точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.

Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов (аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике).

Таким образом, центральным моментом порядка s случайной величины X называется математическое ожидание s-ой степени соответствующей центрированной случайной величины:

μs[X] = M[X*s] = M [(X — mx)s]

Для прерывной случайной величины s-й центральный момент выражается суммой μs = ξ(xi — mx)spi,
а для непрерывной случайной величины интегралом μs = ∫(x — mx)sf(x)dx.

Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю:
μ1 = M[X*] = M[x-mx] = 0
Второй центральный момент:
μ2 = μ2 — mx2

Аналогично для μ3 и т.д.

Для центральных моментов любой случайной величины X справедливы формулы:
μ1 = 0,
μ2 = α2 — mx2
μ3 = α3 — mx2α2 + 2mx3
Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяется первый начальный момент (математическое ожидание) mx = α1 и второй центральный момент μ2.

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины и обозначается D[X].

Согласно определению центрального момента D[X] = M[X*2], т.е. дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины. Заменяя в выражении величину X* ее выражением, имеем D[X] = M[(x-mx)2]

Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:
для прерывных случайных величин D[X] = ∑(xi — mx)2pi
для непрерывных случайных величин D[X] = ∫(x — mx)2f(x)dx.

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания.

Механическая интерпретация: дисперсия представляет собой не что иное, как момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания).

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины.

Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень, полученная величина называется средним квадратичным отклонением случайной величины X.

Среднее квадратичное отклонение будем обозначать σ[X]:

σ[X] = √D[X]


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru