Практические потребности в математической модели

Любая модель любого объекта, «доведенная» до компьютера, в итоге может рассматриваться как его математическая модель. Под этим понимают выраженные в математической форме основные закономерности и связи, присущие изучаемому явлению. Это могут быть формулы или уравнения, набор правил или соглашений. Речь идет, конечно, об основных закономерностях и об основных связях. Нет нужды, описывая движение воды по трубопроводу, учитывать притяжение Луны. Напротив, изучая морские приливы, мы обязаны принять его во внимание, поскольку приливы есть прямой результат действия соседки Земли.

Что же тут нового и причем здесь компьютеры? Ведь испокон веков математики, механики, физики и не только они использовали математические модели. Например, ньютоновский закон тяготения — прекрасная модель взаимодействия Солнца и планеты. Вместе со вторым законом Ньютона он полностью определяет их движение, описываемое довольно простыми формулами. Кивое — в сложности тех моделей и тех требований, которые предъявляет практика. Относительно нетрудно написать уравнения движения космического аппарата от Земли к Луне. Но нечего надеяться получить их решение в виде простых формул. Для расчета траектории нужен компьютер.

Наши практические потребности изменили само понятие «решить задачу». Ранее исследователь удовлетворялся написанием модели, а если еще удавалось доказать, что решение в принципе существует, то это был полный триумф. Ныне от науки требуются точные количественные характеристики и рецепты, достигающие заданной цели. Модели должны представлять явления в необходимой полноте. Понятно, что модели становятся чрезвычайно сложными. Этих сложностей целый букет. Мало того, что модели очень громоздки и в них входит множество величин, подлежащих определению. Вдобавок сами величины зависят от большого числа переменных (многомерность) и постоянных параметров (много-параметричность). Наконец, модели реальных процессов не линейны.

При слове «нелинейность» исследователь настораживается. И неспроста. Созданный трудами многих выдающихся ученых аппарат классической математической физики (наука о математических моделях физических явлений) приспособлен для линейных моделей. Применительно, скажем, к уравнениям линейность означает, что сумма (суперпозиция) некоторых частных решений уравнения также есть его решение. Находя решение уравнения в частном случае, с помощью суперпозиции конструируют решение в общем случае. На этом пути традиционная математическая физика добилась замечательных результатов, но она становится бессильной, встречаясь с нелинейными моделями. Принцип суперпозиции неприменим, неясно, как построить общее решение. Неудивительно, что для нелинейных моделей получено очень мало законченных теоретических результатов.

Рассмотрим в качестве примера процесс передачи тепла в некотором металлическом стержне, напомнив заодно типичные рассуждения и предположения, которые делаются при построении математических моделей. Переносчиками тепловой энергии в металле служат свободные электроны. Пусть металл нагревается или охлаждается с торцов. Нас интересует, как изменяется температура в разных точках стержня со временем. Будем считать, что стержень изотропный, т. е. его плотность Q0 и удельная теплоемкость Со одинаковы во всех точках. Предположим также, что процесс, как говорят, одномерный и нестационарный. Это значит, что температура зависит от времени и только от одной пространственной координаты х. Для одномерности как минимум необходимо, чтобы на торцах температура поддерживалась постоянной по сечению. Наконец, примем, что боковая поверхность стержня теплоизолирована, а внутри него тепло не поглощается и не выделяется (если по стержню течет ток, то это предположение, как известно, неверно).

После многочисленных «что» пришла пора применить закон сохранения энергии, подсчитав баланс тепла в некоторой точке с координатой х в момент времени t. В следующих постах будут приведены примеры.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru