Образовательный блог – всё для учебы

Поскольку результаты данного поста использоваться далее не будут, мы их приведем без доказательства. Будет рассмотрен лишь случай непрерывного времени. Распространение на дискретное время очевидно.

Пусть ? и ?* — стационарные распределения, рассмотренные в теореме 5.4. Пусть f(z) —некоторая функция, интегрируемая по распределению ?. Рассмотрим последовательность случайных величин (?_n}, где

?_n = ?f(z_t)dt, n ? 1, ?₀⁽¹⁾ = 0, (1)

причем предполагается, что начальное состояние z₀ является случайным с распределением ?*. Тогда {?_n} — стационарная последовательность.

Теорема 1. Если {?_n} — метрически транзитивная последовательность, то для почти всех (по распределению ?_n) начальных условий

P_z {lim -1/t ?f(z_s)ds = ?f(z)?(dz)} = 1. (2)

Утверждение теоремы 1 представляет собой формулировку закона больших чисел в усиленной форме для процесса z_t.

Из теоремы 1 следует, что в принятых предположениях для любого множества В?Z

lim 1/t ?P{z_s?В}ds = ?(В). (3)

Условие метрической транзитивности, требуемое в теореме 1, выполнено, если для некоторой постоянной ? < 1 равномерно по В?z{||z|| < а} имеет место неравенство

|P{z_n⁰?B|z₀⁰ = z} – ?*(B)| < ?ⁿ. (4)

Отметим, что если рассматривать процессы, «типичные» для задач массового обслуживания, теории надежности и т. д., то для них неравенство вида (4), как правило, не выполнено, если вместо z_n⁰ подставить значения исходного процесса. Рассмотрение «вложенного» процесса z_n⁰ в корне меняет картину. Для него уже выполнение неравенства (4) не есть «патологический» случай. Например, для справедливости (4) достаточно существования таких множеств S?{||z|| < а} и целого числа N > 0, что

inf P{z_N⁰?S|z₀⁰ = z} > 0,

и, кроме того, чтобы у распределения Р {z_N⁰?S/z₀⁰ = z} при всех ||z|| < а в множестве S существовала плотность p_N⁰(z, y) и

inf p_N⁰(z, у) > 0.

Данное условие можно сформулировать в более общем виде, если рассмотреть вместо плотностей p_N⁰ абсолютно непрерывные компоненты разложения распределения Р {z_N⁰?S|z₀⁰ = z} относительно некоторой ?-конечной меры.

1. Экспоненциальный закон – теория вероятностей
2. Закон Пуассона – теория вероятностей
3. Нормальное распределение (закон Гаусса) – теория вероятностей
4. Сходимость и метрики
5. Оценка скорости сходимости в теореме восстановления
6. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок
7. Теорема Форда-Фалкерсона о максимальном потоке
8. Шкала мощностей
9. Марковские процессы с дискретным временем
10. Примеры устойчивости предельных режимов
11. Постановка задачи устойчивости предельных режимов
12. Оценки в случае дискретного времени
13. Свойство регулярности. Необрывающиеся процессы
14. Примеры 1 и 2 моделей с дискретным временем
15. Постановка задачи оценки распределения момента первого достижения
16. Устойчивость регенерирующих процессов
17. Ограниченность для КЛП