Теоремы достижимости и ограниченности

Теорема 1. Если распределение {a(t)}, t ≥ 1, арифметическое с шагом 1, {a(t)}∈NP(N, а), и μ = ∑ta(t) < ∞,то справедлива оценка

|h(t) — μ-1| ≤ 1/t{4NП(N)Ka-2П(N)K + 3∑ R(k) + tR(t)}. (49)

С помощью полученной оценки легко найти класс процессов восстановления, для которого существует равномерная оценка величины |h(t) — μ-1| и, естественно, саму оценку.

Рассмотрим некоторую функцию G(t), t = 0, 1, и предположим, что G∈Ψ. Класс функций Ψ вводился в посте про равномерно интегрируемые случайные величины. Зафиксируем положительное число g1 < ∞. Определение 2. Скажем, что распределение {a(t)} принадлежит множеству L(G, g1), если

∑a(t)G(t) ≤ g1.

Если для некоторого множества распределений R существуют функция G∈Ψ и постоянная 0 < g1 < ∞ такие, что R⊂L(G, g1), то в силу теоремы 1.1. семейство случайных величин с распределениями из R равномерно интегрируемо. Очевидно, для любого распределения из L(G, g1) постоянная К в неравенстве (49) может быть выбрана зависящей лишь от G и g1. Именно, пусть g (k) = G (k) — G (k — 1), k ≥ 1. Так как G∈Ψ, то g(k) монотонно возрастает и g(k) → ∞. Нетрудно убедиться, что можно положить

K = K(G, g1) = min{t:g(t)>3g1}.

Чтобы излишне не усложнять вид получаемых оценок, предположим без ограничения общности, что функция G строго положительна. Тогда, если {a(t)}∈L(G, g1), то H(t) ≤ g1/G(t),

∑H(k) ≤ μ.

Теорема 2. Пусть фиксированы положительные числа g1, а < 1 и функция G∈Ψ. Тогда для всех процессов восстановления, «порождаемых» распределениями из множества L(G, g1)∩NP(N, а), справедлива оценка

|h(t) — μ-1| ≤ 4/t{4NП(N)K(G, g1)a-2П(N)K(G, g1) + μ + g1/2μ max k(k+1)/G(k)}.

Доказательство следует из оценки (49) и приведенных выше соотношений.

Отметим, что оценка, данная в теореме 2, имеет вид

|h(t) — μ-1| ≤ c1/t + c2t/G(t)

при некоторых положительных постоянных c1 и c2, которые несложно оценить. Приведенные выше оценки отражают правильный порядок скорости сходимости, если функция G, участвующая в них, растет не быстрее квадратичной.

Отметим, что все условия теорем 1 и 2 существенны. Отказ хотя бы от одного из них позволяет построить простые примеры, противоречащие утверждениям теорем.

Возможные улучшения оценок, получающиеся при предположении существования у случайных величин ξi моментов высших порядков, будут приведены в следующих постах.


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru