Образовательный блог – всё для учебы

Теорема 1. Если распределение {a(t)}, t ? 1, арифметическое с шагом 1, {a(t)}?NP(N, а), и ? = ?ta(t) < ?,то справедлива оценка

|h(t) – ?^-1| ? 1/t{4NП(N)Ka^-2П(N)K + 3? R(k) + tR(t)}. (49)

С помощью полученной оценки легко найти класс процессов восстановления, для которого существует равномерная оценка величины |h(t) – ?^-1| и, естественно, саму оценку.

Рассмотрим некоторую функцию G(t), t = 0, 1, и предположим, что G??. Класс функций ? вводился в посте про равномерно интегрируемые случайные величины. Зафиксируем положительное число g₁ < ?.

Определение 2. Скажем, что распределение {a(t)} принадлежит множеству L(G, g₁), если

?a(t)G(t) ? g₁.

Если для некоторого множества распределений R существуют функция G?? и постоянная 0 < g₁ < ? такие, что R?L(G, g₁), то в силу теоремы 1.1. семейство случайных величин с распределениями из R равномерно интегрируемо. Очевидно, для любого распределения из L(G, g₁) постоянная К в неравенстве (49) может быть выбрана зависящей лишь от G и g₁. Именно, пусть g (k) = G (k) – G (k — 1), k ? 1. Так как G??, то g(k) монотонно возрастает и g(k) ? ?. Нетрудно убедиться, что можно положить

K = K(G, g₁) = min{t:g(t)>3g₁}.

Чтобы излишне не усложнять вид получаемых оценок, предположим без ограничения общности, что функция G строго положительна. Тогда, если {a(t)}?L(G, g₁), то H(t) ? g₁/G(t),

?H(k) ? ?.

Теорема 2. Пусть фиксированы положительные числа g₁, а < 1 и функция G??. Тогда для всех процессов восстановления, «порождаемых» распределениями из множества L(G, g₁)?NP(N, а), справедлива оценка

|h(t) – ?^-1| ? 4/t{4NП(N)K(G, g₁)a^{-2П(N)K(G, g₁)} + ? + g₁/2? max k(k+1)/G(k)}.

Доказательство следует из оценки (49) и приведенных выше соотношений.

Отметим, что оценка, данная в теореме 2, имеет вид

|h(t) – ?^-1| ? c₁/t + c₂t/G(t)

при некоторых положительных постоянных c₁ и c₂, которые несложно оценить. Приведенные выше оценки отражают правильный порядок скорости сходимости, если функция G, участвующая в них, растет не быстрее квадратичной.
Отметим, что все условия теорем 1 и 2 существенны. Отказ хотя бы от одного из них позволяет построить простые примеры, противоречащие утверждениям теорем.

Возможные улучшения оценок, получающиеся при предположении существования у случайных величин ?_i моментов высших порядков, будут приведены в следующих постах.

1. Равномерно интегрируемые случайные величины
2. Оценки в случае непрерывного времени
3. Оценки в случае дискретного времени
4. Конгруенции и фактор-алгебры, теоремы о гомоморфизме
5. Основные теоремы теории вероятностей
6. Теоремы об устойчивости по первому приближению
7. Оценка скорости сходимости в теореме восстановления
8. Достижимость для КЛП
9. Ограниченность для КЛП
10. Достижимость для процессов с дискретным временем
11. Ограниченность для процессов с дискретным временем
12. Сходимость и метрики
13. Устойчивость регенерирующих процессов
14. Усиленный закон больших чисел
15. Плотность распределения функции распределения вероятностей
16. Числовые характеристики случайных величин
17. Математическое ожидание случайной величины