Схема резервирования с конечным временем переключения элементов

Пример схемы резервирования с конечным временем переключения элементов.

Рассмотрим следующую систему (рис. 5), состоящую из n идентичных элементов.



В полностью исправном состоянии в системе имеются m элементов, находящихся на рабочих местах («рабочих» элементов), n—m элементов, находящихся в нагруженном (горячем) резерве («резервных» элементов). При выходе какого-либо рабочего элемента из строя он мгновенно поступает на одно из r ремонтных мест, r ≤ n, если имеется свободное, либо становится в очередь на ремонт. Замена отказавших элементов происходит следующим образом. Если в наличии есть хотя бы один резервный элемент, а общее количество работающих и подключаемых элементов меньше m, то этот резервный элемент немедленно начинает переключаться с резервного места на рабочее. Время переключения каждого отдельного элемента — случайная величина с функцией распределения 1—е-vx. Дополнительно предположим, что число одновременно переключаемых элементов не может превышать некоторого числа s. Элементы системы являются ненадежными и могут отказывать как на рабочих местах, так и в резерве и в состоянии переключения. Будем называть элемент исправным, если он находится в одном из этих трех состояний: рабочем, резервном и переключения. Время пребывания элемента в исправном состоянии является, по предположению, случайной величиной с функцией распределения 1-е-λx. Время ремонта отдельного элемента также случайно и имеет функцию распределения 1-е-μx. Все перечисленные случайные величины независимы в совокупности.

Если за состояние системы выбрать пару zt = (ξt(1), ξt(2)), где ξt(1) —число рабочих элементов, а ξt(2) — число неисправных элементов в момент t, то, очевидно, zt — однородный марковский процесс с конечным числом состояний. Множество возможных состояний Z системы определяется неравенствами:

0 ≤ ξ(1) ≤ m, 0 ≤ ξ(1) + ξ(2) ≤ n.

Будем считать, что отказ системы наступает тогда, когда
нет ни одного работающего элемента, т. е. выберем в качестве множества «рабочих» состояний {z = (ξ(1), ξ(2)): ξ(1) ≠ 0}.

Прежде чем анализировать данную задачу, приведем следующий весьма полезный факт, который может использоваться и в более общих ситуациях.

Пусть zt — однородный марковский процесс с непрерывным временем и конечным множеством состояний Z, причем все состояния сообщающиеся. Пусть Q—собственное подмножество Z. Обозначим через Tz, z∈Q, среднее время выхода процесса с начальным состоянием z из подмножества Q. В сделанных предположениях эти величины существуют и конечны. Пусть, λα, β — интенсивность перехода рассматриваемого процесса из состояния α в состояние β, а λα = ∑λα, β. Тогда величины Tz
удовлетворяют следующим уравнениям:

Tα = λα-1(1 + ∑λα, βTβ). (47)

Конкретные оценки приводиться не будут, но они могут быть получены.


Оставить комментарий





Статистика

Рейтинг@Mail.ru