Система обслуживания с относительным приоритетом

Система обслуживания с относительным приоритетом. Дадим теперь пример системы массового обслуживания, описание которой хотя и укладывается в схему (1.5), но не укладывается в схему кусочно-линейных преобразований, определенных в примере 5.

Пусть в однолинейную систему поступает N рекуррентных потоков требований, т. е. в k-м потоке требования поступают через случайные промежутки времени, являющиеся независимыми одинаково распределенными случайными величинами с функцией распределения Нk(х), 0 ≤ х < ∞. Для обслуживания каждого требования k-ro потока (1 ≤ k < N) необходимо случайное время с функцией распределения Вk (х), причем длительности обслуживания отдельных требований k-го потока — независимо и одинаково распределенные случайные величины. Процессы поступления и обслуживания различных потоков не зависят друг от друга.

Обслуживание происходит в соответствии с дисциплиной относительного приоритета, т. е. если в очереди имеются требования из разных потоков, то первыми обслуживаются требования из потока с наименьшим номером. Процесс обслуживания любого требования происходит без прерывания. Требование, заставшее систему пустой, мгновенно начинает обслуживаться.

За состояние выберем вектор zn = (zn(1), …, zn(N)), где Zn(k) = ωn(k) — vn(k), 1 ≤ k ≤ N, ωn(k)— время, проведенное в системе требованием k-ro потока, стоящим первым в очереди (если такие требования есть, и в этом случае vn(k) = 0) к моменту окончания прибором n-го по счету акта обслуживания; если же в этот момент в системе нет требований n-го потока, то полагается ωn(k) =0, vn(k) — время, оставшееся до поступления очередного требования k-го потока.

Пространством состояний Z, очевидно, является пространство N-мерных действительных векторов, а динамика процесса zn определяется так. Пусть ξn = (ηn(1),…, ηn(N), θn(1),…, θn(N)) — 2N-мерный случайный вектор с независимыми компонентами, причем последовательности {ηn(k)} и {θn(k)}, 1 ≤ k ≤ N, состоят из независимых одинаково распределенных неотрицательных случайных величин с распределениями Bk и Нk, 1 ≤ k ≤ N, соответственно, Н — пространство неотрицательных 2N-мерных векторов.

Разобьем пространство Z на подмножества Sk, 1 ≤ k ≤ N,

Sk = {(z (1),…, z [N)): [(z (k) ≥ 0) ∩ (max z (j) < 0) ] ∪ [max z(j) < z(k) < 0]}

Если z(n)∈Sk, то (n+1)-м обслуживаемым требованием является требование k-го потока и в этом случае

zn+1(k) = zn+(k) — θn (k) + ηn (k). (21)

zn+1(j) = zn(j) + ηn (k) — zn(k) j ≠ k.

Пусть ||z|| = [∑ z2(j) ]1/2,
||ξ|| = [∑ (η2(j) + θ2(j) )]1/2

Очевидно, неравенства (21) являются частным случаем соотношения (1.5), для которого выполнено неравенство (1.9), и, следовательно, если М||ξ||γ < ∞, γ > 0, то при любом n > 0 и z∈Z, Mz||zn||γ < ∞. Производящий оператор А определяется равенством

AV(z(1),…, z(N)) = MV[(z(1) + η(k)-z(k), …, z(k—1) + η(k)-z(k), z+(k) — θ(k) + η(k), z(k + 1) + η(k) — z(k),…, z(N) + η(k) — z(k))] — V(z(1),…, z(N)), (22)

(z(1),…, z(N))∈Sk, 1 ≤ k ≤ N.

Если max (Mη(k), Mθ(k)) < ∞, то, как следует из (22), область DA содержит все функции, растущие не быстрее линейной: |V(z)| ≤ L||z||, L > 0 (в частности, удовлетворяющие условию Липшица).

Отметим, что процессы, рассмотренные в примерах 2-6, обладают следующим свойством: Если функция V удовлетворяет условию Липшица и M||ξ|| < ∞, то sup |AV(z)|< ∞.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru