Образовательный блог – всё для учебы

Рассмотрим некоторое множество ? действительных случайных величин. Общий элемент этого множества обозначим ?. Поскольку нас будут интересовать лишь маргинальные (част-ные) распределения случайных величин ???, то безразлично, заданы эти величины на одном вероятностном пространстве или нет. Предположим, что у всех ??? существуют конечные средние М?.

Определение 1. Скажем, что ? — равномерно интегрируемое семейство случайных величин, если

sup M(|?|; |?|>c} ? 0. (1)

Из определения 1 следует, что любое конечное число случайных величин с конечными средними образует равномерно интегрируемое семейство.

Очевидно, что существования средних у ??? и даже их равномерной ограниченности по всем элементам множества ?, вообще говоря, недостаточно для того, чтобы ? было равномерно интегрируемым семейством. Пусть, например, ? — счетное множество случайных величин ?_n, n = 1, 2, …, причем величина ?_n может принимать лишь два значения О и n, Р {?_n = 0} = 1 — 1/n, Р{?_n = n} =1/n. Тогда М?_n = 1 при всех n ? 1. В то же время

М(|?_n|;|?_n| > с} = 1, c < n,
М(|?_n|;|?_n| > с} = 1, c ? n.

Отсюда при произвольном с

sup M{|?|;|?| > c} = 1.

Определим два множества функций, которые впоследствии будут использоваться.

Обозначим через ? множество неотрицательных возрастающих выпуклых вниз функций, заданных на полуинтервале [0, ?) и удовлетворяющих условию

lim G(t)/t = ?

для любой функции G??.

Через ?* обозначим такое подмножество ?, что любая функция G??* дифференцируема и ее производная, обозначаемая g(t), выпукла вверх.

В прикладных вопросах особую роль играют функции G(x)=x^?, ? > 1. Нетрудно видеть, что при 1< ? < 2 такие функции принадлежат ?*.

Теорема 1. Для того чтобы ? было равномерно интегрируемым семейством случайных величин, необходимо и достаточно существования функции G??, для которой

sup MG(|?|) < ?

Следствие. Утверждение теоремы 1 останется в силе, если в
его условии множество ? заменить на ?*.

Определение 2. Множество ? называется ультраравномерно интегрируемой системой случайных величин, если для любой последовательности {?_n}, ?_n??,

? P{|?_n| > n} ? 0. (12)

Нетрудно понять, что в случае конечного множества понятие ультраравномерной интегрируемости эквивалентно понятию равномерной интегрируемости.

Теорема 2. Система случайных величин ? ультраравномерно интегрируема в том и только том случае, когда функция, определяемая равенством

R(x) = sup P{|?| > x), х ? 0, (13)

интегрируема.

Доказательство. Достаточность тривиально следует из неравенства

?P{|?_n| > n} ? ?R(n)

и интегрируемости R.

Для доказательства необходимости выберем такую последовательность {?_n}, чтобы

Р{|?_n| > n} > R(n) - 2^-n.

Тогда

?R(n) ? ?P{|?_n| > n} + 2^1-m.

Теорема доказана.

Обозначим через ?* подмножество ? такое, что функции G??* удовлетворяют условию

?[G(n)]^-1 < ?. (14)

Очевидно, уже упоминавшиеся функции G (x) = x^?, принадлежат ?*.

Теорема 3. Если существует функция G??* такая, что

sup MG(|?|) < ?, (15)

то семейство ? ультрараномерно интегрируемо.

Утверждение теоремы следует тогда из неравенств (14) и (15) и теоремы 2.

Ниже для доказательства ультраравномерной интегрируемости мы будем пользоваться только теоремой 3, поскольку, во-первых, как будет показано, условия вида (15) могут эффективно проверяться, а, во-вторых, дополнительные ограничения, налагаемые условием G??** не стеснительны с практической точки зрения. Легко показать, что условия теоремы 3 не являются необходимыми для ультраравномерной интегрируемости.

Отметим, что если существует G??** для которой выполнено условие (15), то существует и G??**??*, для которой (15) выполнено. Доказательство этого факта аналогично построению функции G в следствии теоремы 1.

1. Ограниченность для процессов с дискретным временем
2. Случайные величины и законы их распределения
3. Ограниченность для КЛП
4. Теоремы достижимости и ограниченности
5. Оценки в случае непрерывного времени
6. Достижимость для процессов с дискретным временем
7. Математическое ожидание случайной величины
8. Усиленный закон больших чисел
9. Случайные сигналы и способы их получения
10. Оценки в случае дискретного времени
11. Определение ?(?) – функций, кусочно-линейной функции
12. Оценка скорости сходимости в теореме восстановления
13. Сходимость и метрики
14. Устойчивость регенерирующих процессов
15. Оптимальная раскраска вершин графа
16. Элементы комбинаторики – размещения, перестановки, сочетания с повторами и без повторов
17. Достаточные условия регулярности