Равномерно интегрируемые случайные величины

Рассмотрим некоторое множество Ψ действительных случайных величин. Общий элемент этого множества обозначим ξ. Поскольку нас будут интересовать лишь маргинальные (частные) распределения случайных величин ξ∈Ψ, то безразлично, заданы эти величины на одном вероятностном пространстве или нет. Предположим, что у всех ξ∈Ψ существуют конечные средние Мξ.

Определение 1. Скажем, что Ψ — равномерно интегрируемое семейство случайных величин, если

sup M(|ξ|; |ξ|>c} → 0. (1)

Из определения 1 следует, что любое конечное число случайных величин с конечными средними образует равномерно интегрируемое семейство.

Очевидно, что существования средних у ξ∈Ψ и даже их равномерной ограниченности по всем элементам множества Ψ, вообще говоря, недостаточно для того, чтобы Ψ было равномерно интегрируемым семейством. Пусть, например, Ψ— счетное множество случайных величин ξn, n = 1, 2, …, причем величина ξn может принимать лишь два значения О и n, Р {ξn = 0} = 1 — 1/n, Р{ξn = n} =1/n. Тогда Мξn = 1 при всех n ≥ 1. В то же время

М(|ξn|;|ξn| > с} = 1, c < n, М(|ξn|;|ξn| > с} = 1, c ≥ n.

Отсюда при произвольном с

sup M{|ξ|;|ξ| > c} = 1.

Определим два множества функций, которые впоследствии будут использоваться.

Обозначим через Χ множество неотрицательных возрастающих выпуклых вниз функций, заданных на полуинтервале [0, ∞) и удовлетворяющих условию

lim G(t)/t = ∞

для любой функции G∈Χ.

Через Χ* обозначим такое подмножество Χ, что любая функция G∈Χ* дифференцируема и ее производная, обозначаемая g(t), выпукла вверх.

В прикладных вопросах особую роль играют функции G(x)=xγ, γ > 1. Нетрудно видеть, что при 1< γ < 2 такие функции принадлежат Χ*. Теорема 1. Для того чтобы Ψ было равномерно интегрируемым семейством случайных величин, необходимо и достаточно существования функции G∈Χ, для которой

sup MG(|ξ|) < ∞

Следствие. Утверждение теоремы 1 останется в силе, если в его условии множество Χ заменить на Χ*.

Определение 2. Множество Ψ называется ультраравномерно интегрируемой системой случайных величин, если для любой последовательности {ξn}, ξn∈Ψ,

∑P{|ξn| > n} → 0. (12)

Нетрудно понять, что в случае конечного множества понятие ультраравномерной интегрируемости эквивалентно понятию равномерной интегрируемости.

Теорема 2. Система случайных величин Ψ ультраравномерно интегрируема в том и только том случае, когда функция, определяемая равенством

R(x) = sup P{|ξ| > x), х ≥ 0, (13)

интегрируема.

Доказательство. Достаточность тривиально следует из неравенства

∑P{|ξn| > n} ≤ ∑R(n)

и интегрируемости R.

Для доказательства необходимости выберем такую последовательность {ξn}, чтобы

Р{|ξn| > n} > R(n) — 2-n.

Тогда

∑R(n) ≤ ∑P{|ξn| > n} + 21-m.

Теорема доказана.

Обозначим через χ* подмножество χ такое, что функции G∈χ* удовлетворяют условию

∑[G(n)]-1 < ∞. (14)

Очевидно, уже упоминавшиеся функции G (x) = xγ, γ > 1, принадлежат χ*.

Теорема 3. Если существует функция G∈χ* такая, что

sup MG(|ξ|) < ∞, (15)

то семейство Ψ ультрараномерно интегрируемо.

Утверждение теоремы следует тогда из неравенств (14) и (15) и теоремы 2.

Ниже для доказательства ультраравномерной интегрируемости мы будем пользоваться только теоремой 3, поскольку, во-первых, как будет показано, условия вида (15) могут эффективно проверяться, а, во-вторых, дополнительные ограничения, налагаемые условием G∈χ** не стеснительны с практической точки зрения. Легко показать, что условия теоремы 3 не являются необходимыми для ультраравномерной интегрируемости.

Отметим, что если существует G∈χ** для которой выполнено условие (15), то существует и G∈χ**∩χ*, для которой (15) выполнено. Доказательство этого факта аналогично построению функции G в следствии теоремы 1.


Комментарии запрещены.





Статистика

Рейтинг@Mail.ru